高中物理竞赛模拟试题四一. 如图11-16所示，两个木块A 和B ，质量的的别为m A 和m B ，紧挨着并排放在水平桌面上，A ，B 间的接触面垂直于图面而且与水平成θ角。

A ，B 间的接触面是光滑的，但它们与水平桌面间有摩擦，静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ。

开始时A ，B 都静止，现施一水平推力F 于A ，要使A ，B 向右加速运动，且A ，B 间不发生相对滑动，则1．μ的数值应满足什么条件？2．推力的最大值不能超过多少？（只考虑平动，不考虑转动问题）解：1）、令N 表示A ，B 间的相互作用力，垂直于接触面，如图11-17所示。

若A 相对于B 发生滑动，则A 在竖直方向必有加速度。

现要使A 相对于B 不滑动，则A 受的力N 在竖直方向的分力必须小于或等于A 的重力。

所以要使B 向右加速运动而同时A 相对于B 不滑动，必须同时满足下列二式：,0)cos (sin >=+-a m N g m N B A θμθ （1） .cos g m N A ≤θ （2） 由（1），（2）二式可解得.tan θμBA Am m m +<（3）2）、当满足（3）式时，又由于A 的水平方向的加速度和B 相同，即()(),cos sin sin cos B A A A m N g m N m N N g m F θμθθθμ+-=--- （4）由（2），（4）二式可解得).(tan )(μθ-+≤g m m m m F B A BA（5）二．有两根长度均为50cm 的金属丝A 和B 牢固地焊在一起，另两端固定在牢固的支架上（如图21-3）。

其线胀系数分别为αA =1.1×10-5/℃，αB =1.9×10-5/℃，倔强系数分别为K A =2×106N/m ，K B =1×106N/m ；金属丝A 受到450N 的拉力时就会被拉断，金属丝B 受到520N 的拉力时才断，假定支架的间距不随温度改变。

问：温度由+30°C 下降至-20°C 时，会出现什么情况？（A 、B 丝都不断呢，还是A 断或者B 断呢，还是两丝都断呢？）不计金属丝的重量，在温度为30°C 时它们被拉直但张力为零。

解：金属A 和B 从自由状态降温，当温度降低t ∆时的总缩短为图11-16图11-17图21-3t l l l l B A B A ∆+=∆+∆=∆0)(αα （1）而在-20°C 时，若金属丝中的拉力为F ，则根据胡克定律，A 、B 的伸长量分别为F/K A 和F/K B ，所以 l K E K E BA ∆=+ （2）t l K K F B A B A ∆+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0)(11αα （3）所以NK K tl F BA B A 50011)(0=+∆+=αα因为N F 450>，所以温度下降到-20°C 前A 丝即被拉断。

A 丝断后。

F=0，即使温度再下降很多，B 丝也不会断。

三. 如图31-8所示，MN 为一竖直墙，一平面镜OB 绕过O 点的垂直于图画的水平轴转动，转动角速度为ω，在墙上的A 点有一水平光轴投射到平面镜上被反射后又射到墙上形成一光点D ，试求此时反射点在墙上移动的速度。

已知AO=d ，此刻平面镜与墙面间的夹角为θ。

分析一：作出墙面在镜中的像M O '如图31-9所示，其中A '点为A 点的像，由于物像对称，故图中应有θ2,,='∠'⊥'-='A AO M O A C d AO O A ，且CD A '三点共线。

在MN 看来，D 点的光线如同是由A '点沿直线CD A '射来的一样，墙面MO 的像O M '相对于MN 以速度ω2转动。

由于这一转动，一方面使得A '点以O A V '•=ω20沿A D '方向运动，显然这一运动并不会使光点在墙上发生移动；另一方面，则有“光线”CD A '也随O M '一道相对于墙面A '点以角速度ω2转动，由此显然会造成光点D 在墙上的移动，综合以上两项可知，此时研究光点在墙面上的移动，只要考虑“光线”CD A '转动造成的效果就可以了。

解一：在图31-9中，设经历一段很短的时间t ∆，则CD A '绕A '点转运的角度为t ∆=∆ωα2，墙上的光点刚由D 点移至F 点，设此时光点移动的速度大小为υ（由于t ∆很小，则DF 也很短，可以近似地把光点在这段距离上的运动看成是匀速运动），则图31-8图31-9MF D At DF ∆=υ另一方面，由于t ∆很小，则α∆也很小，在F A '上取D A E A '='，则有2π='∠≈'∠ED A DE Aθπ22-='∠≈'∠DA A FD Aθθπ2cos 22sin DEDE DF =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=而在DE A '∆∠中又近似有t O A D A DE ∆••'=∆•'=ωθα22tan t d ∆•=θω2tan 2 以DE 之表达式代入前式中，便得td DF ∆=θθω2cos 2tan 2故有：θθωυ2cos 2tan 2d t DF =∆=分析二：如图31-10所示，设MO 在镜中的像为O M '，显然，反射光线CD 的像D C '与入射光线AC 共线，当平面镜OB 转动时，D 点在墙MN 上移动，其对应的像点D '则在像M O '上移动。

D '点沿M O '移动的速度大小与D 点沿MN 移动的速度大小是相等的，故由此求出D '沿M O '移动的速度大小便求出了D 点沿MN 移动的速度大小。

D '点是射线AC 与O M '的交点。

在题述情况下，射线AC 不动，MO 则绕O 点以角速度ω2转动，由于这一转动导致D '点移动。

此时D '点的运动可以看成是由两个分运动合成的合运动，这两个分运动是：由于M O '以速度ω2转动而导致D '点随O M '一道转动和D '相对于O M '在O M '上向远离O 点的方向运动。

这两个分运动合成的合运动是D '点沿射线AC 远离A 点的运动。

上述两分运动对应的分速度分别如图31-10中的⊥V 和//V （其中⊥V 的分方向与O M '垂直，大小为ω2•'=⊥D O V ，合速度即为DV '。

解二：如图31-10，在D OA '∆中，有θ2cos dD O ='在速度合成的平行四边形中A图31-10θθωθωθ2cos 2tan 22tan 22tan //d D O V V =•'==⊥即时此光点D 沿墙面移动的速度大小为θθω2cos 2tan 2d 。

四．如图31—35所示，海岛城市A 离C 海岸120km ，海滨城市B 离C 点160km ，已知陆地上汽车速度是海上轮船速度的2倍，要使A 、B 两城市之间运输时间最少，转运码头D 建在何处最佳？解法一：应用数学知识求解：设∠ADC=α，则AD=ααsin 120sin =AC BD=CB-CD=160-αααsin cos 120160tan 120-= v v v t 80sin cos 601202sin cos 120160sin 120+-=-+=∴ααααα对于()ααcos 60,sin -可看作椭圆方程()16022=⎪⎭⎫⎝⎛+-y x 上的点。

令ααsin cos 60120-=m ，m 值为点（0，120）与()ααcos 60,sin -的斜率，从而不难求出m 的最小值，23sin =α3tan =∴α，从而可得：CD=km340tan 120=α()km DB 340160-=∴即码头应建在距B 城()km 340160-处。

上面这种方法，通过构想一个椭圆，把代数运算转化为几何运算，体现了数形结构的思想。

解法二：费马原理费马指出：光在指定的两点间传播，实际的光程总是一个极值。

也就是说，光沿光程值为最小、最大或恒定的路程传播。

这是几何学中的一个最普遍的基本原理，称为费马原理。

在一般情况下，实际光程大多是取最小值。

费马本人最初提出的也是最短光程。

光在均匀介质中的传播，在平面分界面上的反射和折射，都是最短光程的例子。

3531-图把CB 设想为空气和水的分界面，光在水中的速度为v ，在空气中的速度为2v ，则当A 发出的光以临界角302arcsin==v vθ入射到界面上时，根据费马原理可知：B D A →→为光线由A 传到B 的最小的路径，所以要使A 、B 两城市之间运输时间最少，转运码头D 与海岛城市A 的连线与海岸的夹角60=αkmkm AC CD 340312060tan ===()km BD 340160-=∴即码头应建在距B 城()km 340160-处。

比较上述两种解法可看出：把船在水中的运动设想为光在水中的传播，灵活应用费马原理（光程最短），把复杂的数学求极值转化为物理中的全反射现象，化繁为简，使解题步骤大大简化，提高了解题的效率。

五．绝缘光滑水平面上固定一个正点电荷+Q ，另一个质量为m 、带电量为-q 的质点在水平面上绕+Q 做椭圆运动，运动过程中-q 在水平方向上只受+Q 的库仑引力作用。

已知在-q 的运动中距+Q 的最近距离为a ，最远距离为最近距离的n 倍。

问：-q 到达离+Q 最近距离处速率ν1多大？到达离+Q 最远距离处速率ν2多大？当-q 到达离+Q 最远处时，欲要-q 变为绕+Q 做匀速圆周运动，需要向-q 提供多少能量？解：q -在运动中只有库仑力做功，动能与电势能总和保持不变，运用开普勒行星运动第二定律有：na kQqmv a kQq mv -=-22212121，21nv v =，联拉方程可解出1v 和2v ：ma kQqn n v 211+=，ma kQq n n n v 2)1(2+=，q -在最远点从椭圆运动变为匀速圆周运动后，其速率要由2v 变为2v '，而2v '由牛顿第二定律求出：na v m na Qqk 222)('=， 则na kQqn n mv v m E 21121212222+-=-'=∆。

六. 铀U 23892的半衰期τ=45亿年，最后衰变成稳定的铅.20682Pb ，假设从有地球开始铀就连续衰变，现在测出矿石中所含铀和铅的质量之比为.6.3:4试确定地球的年龄。