软件学院2011年工程硕士研究生
高等工程数学期末考试题(山西移动班10月）
一. 填空题(本大题共10个小题, 每小题4分, 共40分)
1. 有8个人围圆桌而坐, 其中两人不愿坐在一起, 不同的就坐方式数为 .
2. 设多重集B {2,,32}a b c d =，, 将B 中所有元素进行全排列，不同排列的个数为 .
3. 方程121015x x x ++
+=的正整数解的个数等于 . 4. 集合{1,2,3,,}(3)S n n =>的全排列中至多有3个元素在原来位置直的排列数为 .
5. 从集合{1,2,3,,15}S =中取出5个数, 要求取出的数没有两个是相邻的, 则不同的取法数为 .
6. 若,,,a b c d 为整数，,c a d b >>，则从格子点(,)a b 到点(,)c d 的非降路径数为 .
7. 设群11(,)Z ⋅中乘法为[][][]x y xy ⋅=, 则元素[7]的逆元素1
[7]-= 8. 剩余类环10{[0],[1],[2],[3],,[8],[9]}Z =的零因子是 .
9. 设域2F Z =,在[]F x 取多项式3()1p x x x =++, 则域[]/(())F x p x 中元素x 对乘法的阶为 .
10. 一个连通的(,)p q -图是树的充分必要条件是 .
二(10分). 求(1)由1,2,3,4,5,6组成的各位数字互异的4位偶数的个数;(2)求由1,2,3,4,5,6组成的大于35000的5位数的个数.
三(10分). 求解递推关系
1230124520(3),5,7,12.n n n n a a a a n a a a ----+-=≥⎧⎨===⎩
，
四(10分).由1，2，3，4，5,6,7组成n 位数，要求1，2出现偶数次，3，4出现奇数次, 5,6,7没有限制，求这样的n 位数的个数.
五(10分). 设N 是任意一个正整数. 试证明: 必存在由0和3组成的正整数, 该正整数能被N 整除.
六(1０分). 设有n 个标号球, 放入k 个标号盒. 试求:
(1) 要求每盒不空时的放法数;
(2) 盒允许空时的放法数;
(3) 由此证明等式
2222(,1)2!(,2)3!(,3)!(,).123n k k k k S n S n S n k S n k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 其中2(,)(1,2,
,)S n i i k =表示第二数Stirling 数.
七(1０分)．设(,)G 是一个半群. 证明: 若下列条件满足，则(,)G 作成群．(1) (,)G 中有左单位元e : ,e a a a G =∀∈; (2) (,)G 中任一元素a 有左逆元1a G -∈: 1a a e -=.
软件学院2010年工程硕士研究生
高等工程数学期末考试题 (山西移动班5月）
参考答案及评分标准
二. 填空题(本大题共10个小题, 每小题4分, 共40分)
1. 有8个人围圆桌而坐, 其中两人不愿坐在一起, 不同的就坐方式数为 .
(3600)
2. 设多重集B {2,,32}a b c d =，
, 将B 中所有元素进行全排列，不同排列的个数为 .
3. 方程121015x x x ++
+=的正整数解的个数等于 . 4. 集合{1,2,3,,}(3)S n n =>的全排列中至多有3个元素在原来位置直的排列数为 .
5. 从集合{1,2,3,,15}S =中取出5个数, 要求取出的数没有两个是相邻的, 则不同的取法数为 .
6. 若,,,a b c d 为整数，,c a d b >>，则从格子点(,)a b 到点(,)c d 的非降路径数为 .
7. 设群11(,)Z ⋅中乘法为[][][]x y xy ⋅=, 则元素[7]的逆元素1
[7]-= 8. 剩余类环10{[0],[1],[2],[3],,[8],[9]}Z =的零因子是 .
9. 设域2F Z =,在[]F x 取多项式3()1p x x x =++, 则域[]/(())F x p x 中元素x 对乘法的阶为 .
10. 一个连通的(,)p q -图是树的充分必要条件是 .
二(10分). 求(1)由1,2,3,4,5,6组成的各位数字互异的4位偶数的个数;(2)求由1,2,3,4,5,6组成的大于35000的5位数的个数. 解: (1)由1,2,3,4,5,6组成的各位数字互异,且个位数字为2,4,6的偶数均有(5,3)60P =个,由加法法则, 所求数的个数为
3(5,3)360180N P ==⨯=
(2) 万位数字是3的5位数.属于此类的5位数的千位数字必为5或6,所以属于此类的5位数有326632⨯=个.
万位数字大于3的5位数. 属于此类的5位数的万位数字必为 4,5或6,故属于此类的5位数有4363888⨯=个.
由加法原理知,所求数的个数为
43238884320N =+=.
三(10分). 求解递推关系
1230124520(3),5,7,12.n n n n a a a a n a a a ----+-=≥⎧⎨===⎩
， 解: 特征方程为特征方程为324520x x x -+-=.
特征根为: 1231,2x x x ===.
通解为: 1231231122,(0,1,2,)n n n n a c c n c c c n c n =⋅+⋅⋅+⋅=++=
由初始条件得: 131231
231272412c c c c c c c c +=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得1232,1,3c c c ==-=.
所以2232,
(0,1,2,).n a n n =-+⋅=
四(10分).由1，2，3，4，5,6,7组成n 位数，要求1，2出现偶数次，3，4出现奇数次, 5,6,7没有限制，求这样的n 位数的个数.
解: 设所求n 位数的个数为n a , 则{}n a 的指数型母函数为 24
322()(1)()2!4!1!3!e x x x x G x =+++++23
(1)1!2!3!x x x ++++
2234431()()(2)2216
x x
x x
x x x x e e e e e e e e ---+-==+- 731(2)16
x x x e e e -=+- n 0n 0n 0
1(7)()(3)216!!!n n n x x x n n n ∞∞∞===⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑∑ 1n 01[7(1)23]16!
n n n n x n ∞-==+-+⋅∑ 所以 11[7(1)23].16
n n n n a -=
+-+⋅ 五(10分). 设N 是任意一个正整数. 试证明: 必存在由0和3组成的正整数, 该正整数能被N 整除.
解: 令1233,33,333,,333(N a a a a N ====个3)
令,01,1,2,.i i i i a n N r r N i N =+≤≤-= (1) 若有00i =, 则000|i i i a n N N a =⇒, 结论成立;
(2) 若对每个(1,2,,),0i i i N r =≠, 则由鸽笼原理必有1i j N ≤<≤, 使得 ()i j j i j i r r a a n n N =⇒-=-,
从而()3
0|33300
0j i j i i N a a --=个个.
六(1０分). 设有n 个标号球, 放入k 个标号盒. 试求:
(4) 要求每盒不空时的放法数;
(5) 盒允许空时的放法数;
(6) 由此证明等式
2222(,1)2!(,2)3!(,3)!(,).123n k k k k S n S n S n k S n k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 其中2(,)(1,2,,)S n i i k =表示第二数Stirling 数.
解: (1) 要求每盒不空的放法数为2!(,).k S n k
(2) 盒子允许空的放法数为
2222(,1)2!(,2)3!(,3)!(,)123k k k k S n S n S n k S n k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. (3) 当盒子允许空时, 每个球有k 种放法, 根据乘法原理, 总的放法数为n k .
于是有
2222(,1)2!(,2)3!(,3)!(,).123n k k k k S n S n S n k S n k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
七(1０分)．设(,)G 是一个半群. 证明: 若下列条件满足，则(,)G 作成群．(1) (,)G 中有左单位元e : ,e a a a G =∀∈; (2) (,)G 中任一元素a 有左逆元1a G -∈: 1a a e -=.
证明: (1) 对每个a G ∈,a 的左逆元1a -也有左逆元a ', 即.a a e '=
于是 1111()()()a a e a a a a a a ----'==
1111()()a a a a a e a a a e ----'''==== 所以1a -是a 的逆元.
(2)证明e 是G 的单位元, 为此只要证明e 也是G 的右单位元.
因为 11()()a e a a
a a a a e a a --====,
所以e 是G 的单位元.。