2008―2009学年第一学期电路理论试题及其解答一、（6分）某有向图在选定一个树后写出的基本回路矩阵为123110010011110101101001f l l l ⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦B（1） 画出对应的有向图； （2） 支路集{}2356b b b b 是否构成树？（3） 上面的基本回路矩阵f B 对应的树由哪些支路构成？ （4） 支路集{}3456b b b b 是否构成回路？【解】（1）实线为为树支，虚线为连支，有向图如图（a ）所示。

（a ）（2）因为支路集{}2356b b b b 包含了有向图的全部节点，本身连通且不含回路，所以支路集{}2356b b b b 构成树。

（3）上面的基本回路矩阵f B 对应的树由{}1234b b b b 构成； （4）支路集{}3456b b b b 可以构成回路。

二、（12分）试求图2所示电路中节点①、②、③对地的电压1U 、2U 、3U 以及10V 、5V 电压源的功率。

ΩΩ图2 （a ）【解】所用电量的参考方向如图（a ）所示。

节点电压方程为12321231111111055551011111151010105U U U U U U U ⎧⎛⎫++--=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪--+++= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得123212352210102410U U U U U U U --=-⎧⎪=⎨⎪--+=⎩解之得15V U =，210V U =，37.5V U =由此可求得31157.5550.5A 55U U I ----===-321225107.51010.25 1.25A 510510U U U U I ----=+=+=--=-或者 31257.51.25A 101010U U I +=--=-=- 各独立电压源吸收的功率分别为10V 21012.5W P I ==-, 5V 15 2.5W P I ==-三、（10分）（1）求图（a ）所示电路a 、b 端口的等效电路；（2）求图（b ）所示电路a 、b 端口的等效阻抗Z 。

5V abab（a ） （b ）【解】（1）5Ω电阻与5V 电压源的串联为多余元件，所以，原电路等效为1I⇒123I 23Ω13Uab ⇒a〔方法1〕端口特性方程为()1111221111233333U I I I U I U I U=⨯-++=+=++即1.53U I =+a 、b 端口的等效电路如图所示。

〔方法2〕因为图中CCVS 可等效为23-Ω的电阻，所以，电路可进一步等效为a⇒()1121233U I U I U =+⨯+=++整理得1.53U I =+图（a ）所示电路a 、b 端口的等效电路如图所示。

（2）()()221122234334M Z Z j j Z j ω=+=++=+Ω（反映阻抗法）四、（10分）图4所示正弦稳态电路中，已知123I I I ==，150V U =，功率表示数为1.5W k 。

求电路参数R 、L X 及C X 。

+-图4 （a ）【解】所用电量的参考方向如图（a ）所示。

令2L Z R jX =+，3C Z R jX =-因为两个阻抗端电压相等，且23I I =，所以23Z Z =，而2Z =3Z =L C X X =因为22231111112p L C L L LRY Z Z R jX R jX R jX R jX R X =+=+=+=+-+-+（电路发生并联谐振） 所以，电流1I 与电压0U 同相。

显然，电压U 与电流1I 也同相。

则电路吸收的平均功率为 ()111cos u i P UI UI ϕϕ=-= 1150010150P I A U ===因为222212313P I R I R I R I R =++=（123I I I ==），所以 2153PR I ==Ω 因为U 与电流1I 与电压2U 同相，所以，12U RI U =+ 变为 12U RI U =+则21150510100V U U RI =-=-⨯=因此2221001010U Z I ===ΩL C X X ====五、（12分）图5所示对称三相电路中，已知o 3800V AB U =∠ ，()134Z j =+Ω，()296Z j =+Ω，()0.10.17l Z j =+Ω。

求各电表的示数。

2AC图5【解】因为o 3800V AB U =∠ ，所以o 22030V AU =∠- ；将三角形负载用其等效的星形负载代替，A 相等值电路如图（a ）所示。

A U Z 23Z（a ）（1）求电流表的示数。

o o 1122030=4483.1A 34A A U I Z j ∠-==∠-+ o o o 222203022030=58.1465A 0.10.1732 3.1 2.173A A l U I Zj j j Z ∠-∠-===∠-+++++ o o 124483.158.1465 5.2943.6824.5752.69A A A I II j j =+=∠-+∠-=-+- o 29.8696.37100.8972.78A j =-=∠-因为电流表A1的示数为电路中的线电流，所以电流表A1的示数为100.89A 。

因为2A I 为三角形负载的线电流，三角形负载的相电流为33.57A P I === 而电流表A2的示数为三角形负载的相电流，所以电流表A2的示数为33.57A 。

（2）求电压表的示数。

因为三角形负载的线电流258.14A l A I I ==，所以阻抗l Z 两端电压的有效值为58.1458.140.19711.45V l l U I Z =⨯==⨯=电压表的示数为阻抗l Z 两端电压的有效值，电压表的示数为11.45V 。

（3）求功率表的示数。

因为o 3800V ABU =∠ ，所以 o 380120V CA U =∠ ，o 38060V AC CAU U =-=∠- ()()o o cos 380100.89cos 6072.7837.39kW AC A uAC iA P U I ϕϕ=-=⨯⨯-+=功率表的示数为37.39kW 。

六、（12分）图6所示稳态电路中，已知1000rad/s ω=时，20.8s U U =；若频率增加一倍时，则2s U U =。

求当()()602000V s u t t t =++时，()2?u t =()s u t ()2u t()s u t ()2u t图6 （a ）【解】所用电量的参考方向如图（a ）所示。

()()()012602000s s s u t t t U u t u t =++=++（1） 直流分量060V U =单独作用。

电路为直流稳态电路，电感短路，电容断路，所以200U =（2） 基波分量()1V s u t t =单独作用。

由题意知，2000rad/s ω=，2s U U =，说明L 、C 对2000rad/s ω=发生并联谐振，即120002000L C=，则11100040001000L C C=<，故对基波1000rad/s ω=，电路呈现感性。

因为1000rad/sω=时，2110.880V s U U ==（ 20.8s U U =），所以1s U 、1R U 和21U 构成电压三角形（如图（b ）所示）。

（b ）111o21180sin sin sin 0.853.1100s U U ϕ---⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此o o 2110.836.98036.9sU U =∠=∠ ，则 ()()o 21100036.9V u t t =+（3） 二次谐波单独作用。

由题意知，2000rad/s ω=，2s U U =，说明L 、C 对2000rad/sω=发生并联谐振，相当于断路，所以()222000V u t t =所以()()()()o2202122100036.92000V u t U u t u t t t ⎡⎤=++=++⎣⎦七（12分）图7所示电路开关闭合前处于稳态，已知1R =Ω，16F C =，23F C =，()1010V C u -=，()200C u -=，0t =时，开关闭合。

（1）对换路后的电路建立以()2C u t 为变量的微分方程；（2）用三要素法求换路后的电压()2C u t 。

2C u C u2C u C u图7 （a ）【解】换路后的电路如图（a ）所示。

由KVL 得()()210C C Ri u t u t +-=将上式两边对t 求导得21d d d 0d d d C C u u i Rt t t+-= 因为2121d d d d C C u ui C C t t==-，所以 1222d d d d C C u uC t C t=- 因此22222222d d d 0d d d C C C u u u C RC t t C t++=代入已知参数可得以()2C u t 为变量的微分方程为2222d d 3 1.50d d C C u u t t+= （2）因为()()22000C C u u +-==，()()110010V C C u u +-== （换路定则）t →∞时，电路电流0i =，则电阻电压为零，可短路处理，电路等效为图示电路。

()()12112620010V 633C C C u u C C +∞==⨯=++电路时间常数为 ()12//122s eq RC R C C τ===⨯= 所以()()()()()2222220200V 033tt C C C C u t u u u e e t τ--+=∞+-∞=->⎡⎤⎣⎦八、（8分）已知图8所示电路中的0N 为线性时不变松弛网络。

当()()2V s u t t ε=时，电路的零状态响应为()()()2010.50.5V t tu t e e t ε-=--。

（1）求网络函数()()()0s U s H s U s =；（2）若()()()12Vs u t t t εδ=-+⎡⎤⎣⎦，求零状态响应()0u t 。

其中()t ε为单位阶跃函数，()t δ为单位冲激函数。

s u图8【解】（1）求网络函数()H s 。

因为()()2s s U s L u t s==⎡⎤⎣⎦ ()()()()0010.50.5 1.521212s U s L u t s s s s s s +==--=⎡⎤⎣⎦++++所以，网络函数为()()()()()()()0 1.520.75112212s U s s s s H s U s s s s s s ++==⨯=++++ （2）求()0u t 。

因为()()12ss s U s L u t e s -==+⎡⎤⎣⎦则()()()()()()()0 1.520.7511212s s s s U s H s U s e s s s s s -++==+⋅++++0.50.50.50.250.251212se s s s s s -⎛⎫=++--⋅ ⎪++++⎝⎭所以()()()()()()121200.50.50.250.251V t t t t u t e e t e e t εε------⎡⎤=++--⎣⎦注：线性时不变松弛网络为线性时不变零状态网络。