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二、函数展开成傅里叶级数
a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n1
1、f(x)满足什么条件时，才能展开成三角级数？ 2、如果f(x)能展开成三角级数，展开式中的
a0 , an , bn (n 1, 2, ) 如何计算？
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a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1 1 π an f ( x) cos nx d x (n 0 , 1, ) π π 1 π bn f ( x) sin nx d x (n 1, 2 , ) π π

b
a
f ( x) g ( x)dx 0,
则称函数 f 与 g 在[a,b]上正交。 设 { f n }是区间[a,b]上的一个函数列，若其中任 意两个不同的函数在[a,b]上正交，且

b
a
f n2 ( x)dx 0(n 1, 2, )
则称 { f n } 是[a,b]上的正交函数系。
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a0 an cos nx d x bn sin nx d x f ( x) d x 2 d x n 1 π π π π
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1 π a0 f ( x ) d x π π a0 π π f ( x) cos k x dx 2 πcos k x dx a π cos k x cosnx d x b π cos k x sin nx d x n π n π n 1
π11d x 2 π
2 cos π n x d x π π
π
π sin
2
π
2
nx d x π
1 cos 2n x 1 cos 2n x 2 cos n x , sin n x 2 2
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一般，若 f , g [a, b] 且
称上述形式的级数为三角级数.
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定理 1. 组成三角级数的函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
π π π cos k x cos nx d x

1 π 2 π
π
1 cos nx d x π 1 sin nx d x 0
第四节 傅里叶级数
第四章
一、三角级数及三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、周期函数的Fourier展开 四、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数 五、Fourier级数的复数形式
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 :
复杂的周期运动 :
(谐波函数)
ak cos 2 k x d x
π
π
(利用正交性)
1 π ak f ( x) cos k x d x ( k 1, 2 , ) π π 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 1 π bk f ( x) sin k x d x (k 1, 2 , ) π π
称公式 ② 为Euler-Fourier公式。 以 称为 的傅里叶系数为系数的三角级数 的傅里叶级数 . 的傅里叶系数 ;
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①
②
这些系数称为函数
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பைடு நூலகம்、周期函数的Fourier展开
设有函数 f ：[a,b] R.如果在[a,b]内插入n-1个分点：
a x0 x1 x2 xn1 xn b
π
cos(k n) x cos(k n) x d x 0 π 同理可证 : π sin k x sin n x d x 0 (k n ) π π cos k x sin nx dx 0
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
x 为连续点 f ( x) f ( x 0) f ( x 0) x 为间断点 S ( x) 2 f ( 0) f ( 0) x 2
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
定理中的条件称为狄利克雷( Dirichlet )条件。
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定义在 (, ) 上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f ( x)
F ( x) ,
x [ π , π )
F ( x 2k π ) , 其它
Fourier级数展开式同F(x) 上的傅里叶级数
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定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n1 右端级数在 [ , ] 上一致收敛于f，则
①
② 证: 由定理条件, 对①在
π π π
逐项积分, 得
π
能使 f 在每个开子区间 ( x k 1 , xk ) 内都单调，那么就称 f 在[a,b]上分段单调。
y
a
x1
o
x2 x3 b
x
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定理3 (Dirichlet定理) 设 f (x) 在 [ , ] 上分段单调，
而且除有限个第一类间断点外都是连续的，则 f (x) 的傅里叶级数在 [ , ]上收敛 , 且其和函数为：
( A为振幅, 为角频率, φ为初相 )
An sin n cos n t An cos n sin n t
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1