Schwarzschild 解与致密星摘要：本文推导了TOV 方程，求解出Schwarzschild 内部解及外部解，并介绍了致密星（白矮星和中子星）的存在，同时利用相对论讨论了白矮星和中子星的物理状态和结构性质。

为了简化工作，我们大量借助Mathematica 来辅助运算。

关键词：爱因斯坦引力方程Schwarzschild 内部解TOV 方程白矮星中子星1引言20世纪30年代从理论上预言存在中子星和黑洞，但一直没有观测到这些天体。

然而在60年代发现类星体、脉冲星、双星X 射线源等奇异天体后，相对论天体便发展起来。

恒星演化理论预言恒星演化到晚期应存在三类天体，即白矮星、中子星和黑洞。

一颗晚期演化的恒星变为哪类天体取决于它的质量。

质量为M 星而核燃料耗尽的恒星，由于引力收缩将释放能量，从而温度升高。

对于M 太阳<M <8M 太阳的晚期恒星将最后演化为白矮星，白矮星靠简并电子气的压力与引力平衡，从而维持星体的存在；对于8M 太阳<M <30M 太阳的晚期恒星将最后演化为中子星，中子星靠简并中子气与引力平衡而维持星体的存在；当一个晚期演化的恒星质量大于中子星质量上限时，便不能存在稳定的结构，这种星体无止境地塌缩下去，最后成为黑洞。

2理想流体的Schwarzschild 解2.1Tolman-Oppenheimer-Volkoff 方程的推导考虑爱因斯坦引力方程G T ννμμκ=-（1）在静态球对称星体内部的解。

由静态球对称度规的最普遍形式2222222()(sin )()ds a r dr r d d b r dt θθϕ=--++（2）可得度规张量分别为()rr g a r =-2g r θθ=-22sin g r ϕϕθ=-()tt g b r =0,g μνμν=≠对于（3）设星体物质为理想流体，则有2()P T U U Pg c νννμμμρ=++（4）其中P 是固有压强，ρ是固有总能密度，U μ是速度四矢，定义为1g U U μνμν=（5）因为流体是静止的，故可取0r U U U θϕ===1/2()tt t U g -==（6）由静态和球对称假设可知，P 和ρ仅仅是径向半径r 的函数。

由式（3）可得g μν的逆为1()rr g a r -=-2g r θθ-=-22(sin )g r ϕϕθ--=-1()tt g b r -=（7）代入公式（8）1(2g g g g x x xρμρνμνλλρμννμρ∂∂∂Γ=+-∂∂∂（8）计算可得仿射联络不为零的分量为12r rrdaa drΓ=rr a θθΓ=-2sin rr aϕϕθΓ=-12r tt dba drΓ=1r r r θθθθΓ=Γ=sin cos θϕϕθθΓ=-1r r rϕϕϕϕΓ=Γ=cot ϕϕθϕϕθθΓ=Γ=12t t rt tr dbb drΓ=Γ=（9）代入公式（10）R xxλλμλμνηληλμνμλνημνληνλ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂（10）计算可得Ricci 张量为''1'''1'()24rr b b a b a R b b a b r a=-+-''11()2r a b R a a b aθθ=-+-++2sin R R ϕϕθθθ=''1'''1'(24tt b b a b b R a a a b r a=-++-0,R μνμν=≠对于（11）式中撇表示对r 求微商，即d/d r 。

由此可以得到爱因斯坦方程为''1'''1'()4()24rr b b a b a R G P a b b a b r aπρ=-+-=--2''11()4()2r a b R G P r a a b a θθπρ=-+-++=--''1'''1'(4(3)24tt b b a b b R G P b a a a b r aπρ=-++-=-+（12）又由流体静力学平衡方程（4）、（5）、（6）以及;0T μνν=（13）可以得到'2'b P b P ρ=-+（14）首先推导a （r ）的方程2222'11822tt rr R R R a G a r b ra r arθθπρ++=--+=-（15）此方程也可以写作2()'18rG r aπρ=-（16）若取a （0）为有限值，则a （r ）解为12()()[1]G r a r r-M =-（17）其中20()4'(')'rr r r dr πρM =⎰（18）利用式（14）、（17）消去引力场中的a （r ）、b （r ）有222'1[1][144()G rP G G r G P r r P rπρπρρM M-+--+-=--+（19）由此可以得到31()42()(1)(1()dP G r P r P G r dr r r rπρρ-M M =-++-M （20）此即为广义相对论中，在引力场作用下，球对称静态理想流体恒星内部的平衡方程，即TOV方程。

式中20()4''rr r dr πρM ≡⎰（21）2()4d r r drπρM =（22）若给定物态方程()P P ρ=（23）则TOV 方程（20）、质量方程（21）和状态方程（23）组成星体结构的完备方程组。

在一定的边界条件下()0P R =(0)0M =（24）以中心密度ρ0为参量，可以计算出P（r）、ρ（r）、M（r）。

并且M（R）=M 星，即星体的质量，它是在遥远处的观测者测得的引力质量。

2.2恒星内部求解——Schwarzschild 内部解计算恒星内部解的问题，即求式（2）中的度规。

其中a （r ）已由式（17）给出12()()[1G r a r r-M =-（17）因此只要算得P （r ）、ρ（r ）、M （r ）后，就可得到a （r ）。

对于b （r ），将式（20）代入式（14）可得312'22()[()4][1b G G r r r P b r rπ-M =M +-（25）若取积分常数为零，即()1b ∞=（26）则对式（25）积分可求得b （r ）为31'222(')[(')4'(')][1]''()rG G r r r P r dr r rb r eπ∞-M -M +-⎰=（27）将上述求得的a （r ）、b （r ）代入式（2）即得Schwarzschild 内部解。

2.3恒星外部求解——Schwarzschild 外部解在星体外部，P （r ）、ρ（r ）均为零，M （r ）为常量M （R ）。

代入式（17）、式（27）可以得到a （r ）、b （r ）为12()()()1,G R b r a r r R r-M ==->对于（28）其中M （R ）应等于星体的质量M 星20()4()RR r r drπρM ≡M ≡⎰星（29）3多层球设一颗星的热力学过程为多方过程，则其物态方程为P γκρ=或者PV γ=常数（30）式中1,V P V V C R C C C QC C C C C Tγ+--∆≡=>≡--∆（31）引入()(0)()n r ρρθξ=（32）则有111(0)()n nP κρθξ++=（33）其中1,1r n ξγα==-1211/21/22(1)[(0)][](0)44(1)n n G G γκκγαρρππγ--+≡=-（34）式中比例常数κ依赖于每个核子的熵和化学组成，与r 和ρ（0）无关。

任何一颗星，若其状态方程具有式（30）形式，则称此星为多层球。

设星体半径1,Rr R ξξα===（35）星体的质量为204()Rr r drπρM =⎰星111(34)/23/2204(0)[]()4(1)d G ξγγκγπρξθξξπγ--=-⎰(34)/23/22114(0)[]'()4(1)G γκγπρξθξπγ-=-1324(0)d d αξθπραξξ=（36）星球半径为1R αξ=（37）由式（36）、式（37）可以得到星体质量与半径的关系为3413422221114['()4(1)RG γγγγγκγπξξθξπγ-------M =-星（38）式（36）、式（38）均考虑了式（39）111()'()'()()[]0(0)(0)n d r r d n ρρθξθξξραρ-==<（39）4白矮星耗尽核能后恒星收缩，当密度足够高（ρ>>104g/cm 3）以致星体内的电子气符合理想性条件，并且恒星温度低于电子气简并温度，这种晚期演化的恒星可近似当作完全简并理想电子气球体处理。

白矮星便是这类星体。

由于电子气的简并压与星体的自引力平衡，星体将保持稳定状态。

4.1密度较小、非相对论性条件下的白矮星根据非相对论性简并费米气体，很容易求得物态方程为2222/35/322/35/3161()()(3)()55N N P g m V m Vππ== （40）其中g 为电子自旋简并度，值为2。

设每个电子的平均核子数为μ（μ=A /Z >=1），则2222/35/322/35/311(3)((3)()55e N e Nn m N P m V m m μππμ== 222/35/31(3)(5e Nm m ρπμ= （41）这是一种γ=5/3、n =3/2的多层球，并且κ为225/323()15e Nm m πκπμ= （42）利用式（36）可得此白矮星的质量为3/23/21/21/2223/213(0)()(2.71406)[28N cc m G πρμρM = 星21/2(0)2.79[cρμρ-=M 太阳（43）利用式（37）得此白矮星半径为3/21/21/61/21/23(0)()(3.65375)[8N e cR c G m m πρμρ-= 411/6(0)2.010[ckm ρμρ--=⨯（44）式（43）、式（44）中引进一个临界密度ρc3363230.9710/3N e c m m c g cmμρμπ==⨯ （45）此白矮星的总动能T2222/32/322/35/333(3)()(3)(1010e e N N T N V m V m Vππ== （46）5/332/35/32/325/344()()()()(33N NN V R R V m m ππμμ---M M ==总势能U235GM U R=-（47）总能量EE T U=+（48）式（48）对R 求导可得总能量E 取极值时需要满足1/32RM Gγ=（49）其中γ为22/35/319(()24N em m πγμ-≡ （50）由式（49）也可以得到总能量E 对R 的二阶导数大于零，表明在此情况下白矮星是稳定的。