平行线的性质与判定的证明
练习题
温故而知新：
1.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行互补.
例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；
（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．
解析：
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.
解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.
例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．
解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.
例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？
解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.
举一反三：
1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）
A.60°
B. 72°
C. 90°
D. 100°
2. 已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.
3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．
求证：∠B=∠E．
例4如图2-6，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．
解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.
5.如图1-7，已知直线1l 2l ，且3l 和1l 、2l 分别交于A 、两点，点P 在AB 上，4l 和1l 、2l 分别交于C 、D 两点，连接PC 、PD 。

（1） 试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由。

（2） 如果点P 在A 、B 两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。

（3） 如果点P 在AB 两点的外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P 和A 、B
不重合）
6.如图2-11，CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD，EF平分∠DEB吗？请说明理由．
7.如图1-12，CD∥EF, ∠1+∠2=∠ABC,
求证：AB∥GF
8.如图2-13，已知AB∥CD，∠ECD=125°，∠BEC=20°，求∠ABE的
度数．
答案：∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．
证明：如图，过点C作CF∥AB，
∵直线AB∥ED，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°.
∵∠BCD=∠1+∠2，
∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．
4.动画过点B作BD∥AE，
答案：
解：过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2＋∠
C=180°
∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°，
∴∠2=30°，
∴∠C=180°-30°=150°．
例题
1. 解析：∠AEG=180°-120°=60°,由外凸角和等于内凹角和有60°+30°+30°＝x+48°，解得x=72°.
答案:B.
解：需添加的条件为CF∥BE ，
理由：∵AB∥CD，
∴∠DCB=∠ABC.
∵CF∥BE，
∴∠FCB=∠EBC，
∴∠1=∠2；
方法二：（标注CF，BE，∠1=∠2=∠DCF=∠ABE）解：添加的条件为CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线．
理由：∵AB∥CD，
∴∠DCB=∠ABC.
∵CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线，
∴∠1=∠2．
5. 解：（1）解析：在题目中直接画出辅助线
∠3=∠1+∠2。

理由：如图（1）所示
过点P作PE∥
l交4l于E，则∠1=∠CPE，
1
又因为
l∥2l，所以PE∥2l，则∠EPD=∠2，
1
所以∠CPD=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2
（2）解析: 点P在A、B两点之间运动时，∠3=∠1+∠2的关系不会发生改变。

（3）解析：如图（2）和（3）所以，当P点在A、B两点外侧运动时，分两种情况：
6. 解析：标注CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD
答案：标注∠CDE=∠ACD=∠DCE=∠DEF=∠BEF
解：EF平分∠DEB．理由如下：
∵DE∥AC，EF∥CD，
∴∠CDE=∠ACD，∠CDE=∠DEF，
∠BEF=∠DCE.
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCE=∠ACD，
∴∠DEF=∠BEF，
即EF平分∠DEB．
7. 解析：如图，作CK∥FG,延长GF、CD交于H，则∠H+∠2+∠KCB=180°.因为
CD∥EF，所以∠H=∠1,又因为∠1+∠2＝∠ABC，所以∠ABC+∠KCB=180°，所以CK∥AB,所以AB∥FG.
8. 解析：（过E点作EF∥CD）标注AB∥EF∥CD
答案：解：过E点作EF∥CD，
∴∠ECD+∠CEF=180°，
而∠ECD=125°，
∴∠CEF=180°-125°=55°，
∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=20°+55°=75°.
∵AB∥CD，∴AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF=75°．。