CO Rl s0
OD Rl s
劳厄条件
k k0 nKh
● ●
nKh Gh
k k0 Gh
2 2 k k0 Gh
k k0
Gh 1 k0 Gh 2 Gh
2 2k0 Gh Gh
由此可得：
2.1.4
布里渊区
在倒格子空间中，以某一倒格点为原点，画出其它倒格点 的倒格矢Kh，再作这些倒格矢的垂直平分面，称为布里渊区界 面。界面方程 K 1
k h Kh Kh 2
●由布里渊区界面所围成的，包围原点的最小的多面体称为第 一布里渊区，或称为简约布里渊区。 ●在第一布里渊区外面与第一布里渊区有共同边界的小多面体 构成第二布里渊区，
ik ik ( r Rl ) r V r V (k )e V (k )e V (r Rl )

1
由于 Rl 为任意正格矢量，所以k为倒格矢量
iK V ( r ) V ( K h )e h r k 1 iK V ( K h ) V ( r )e h r
Henry Bragg
Lawrence Bragg
位从 置衍 、射 强图 度上 、可 峰得 形到 （的 峰信 宽息 ）： 。射 峰 的
2.2.1 原子散射因子 原子散射因子：原子内所有电子的散射波的振幅的几何 和与一个电子的散射波的振幅之比。
2 2 S r (s s0 ) r S r i 2 f ( s ) (r )e d S r Sr cos
§2.1 倒格子和布里渊区 §2.2 晶体对X射线的劳厄条 件 §2.3 低能电子散射(略) §2.4 磁性晶体的中子散射 §2.5 扫描电子显微术
§2.1 倒格子和布里渊区
为什么要引入倒易点阵概念
天下本无事，庸人自扰之？ 非常有用
简化（1）晶面与晶面指数表达； （2）衍射原理的表达； （3）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部分。
2.1.1 倒格子 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关 系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种 表达形式。为了区别有时把晶体点阵空间称为正空 间。倒易空间中的结点称为倒易点。
倒格子基矢定义为：
2π b1 Ω 2π b2 Ω 2π b3 Ω

a 2 a3 a 3 a1 a1 a 2
a 3 Kh
B
a2 a1
a A 1 a1 a 2 K h CA (h1 b1 h2 b 2 h3 b3 ) 0 h1 h1 h2 a 2 a3 K h CB (h b1 h b 2 h b3 ) 0 1 2 3 h2 h3 所以 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3 与晶面族(h h h )正交 1 2 3
2π(l1h1 l2 h2 l3h3 ) 2π
Rl K h 2 0, 1, 2,
倒易点阵总结

晶体点阵中二维阵点晶面在倒易点阵中对应一个点 ----倒易点。 晶面间距和取向两个参量在倒易点阵中只用一个倒 易矢量就能表达。 我们所观察到的衍射花样（或者衍射图谱）实际上 是满足衍射条件的倒易阵点的投影。
.
4.倒格矢的模反比于晶面族（h1h2h3）的面间距 π a1 h1 b1 h2 b 2 h3 b3 2 a1 K h d h1h2h3 Kh h h K K
1 h 1 h
5.
其中 Rl 和K h 分别为正格点位矢和倒格点位矢。
布里渊区定义式
k k0
2
2dh sin n
4 sin k k0 2k0 sin 2 n nK h dh
布拉格方程
◆ Bragg衍射公式
2dhkl sin n
实际上，晶体是由分立原子构成的，用 一组连续反射镜面来代表原子平面是不 太合适的，晶体更严格地应被看成三维 衍射光栅。
倒易点阵中的位矢： 通常称为倒格矢
2 b1 ( j k ) a 2 b2 (i k ) a 2 b3 (i j ) a
K n h1b1 h2b2 h3b3
晶体结构有两个格子，一个是正格子，另一个为倒格子。 正格子 正格子基矢
内 容 X射线的发现 晶体的X射线衍射 晶体结构的X射线分析 元素的特征X射线 X射线光谱学 电子衍射 化学键的本质 蛋白质的结构测定 脱氧核糖核酸DNA测定 青霉素、B12生物晶体测 定 直接法解析结构 电子显微镜 扫描隧道显微镜 中子谱学 中子衍射
1964 化学 1985 化学 1986 物理 1994 物理

其中：a1 , a 2 , a 3 是正格子基矢，

Ω a1 a 2 a 3


是固体物理学原胞体积
倒格子（倒易点阵）：由基矢 b1 , b2 , b3 描述的点阵
例： 面心立方晶格的倒格子
体心立方晶格的倒格子
2 b1 (i j k ) a 2 b2 (i j k ) a 2 b3 (i j k ) a
Rl K h 2π (为整数)
Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a3 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3 Rl K h (l1 a1 l2 a 2 l3 a3 ) (h1 b1 h2 b2 h3 b3 )
Ω 3 2 π * Ω b1 b2 b3 a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 Ω 3
(其中和*分别为正、倒格原胞体积)






ΩΩ 2π
A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C
V (r ) 4 r 2 (r )
0 0
d 2 r 2 sin d dr
i 2 Sr cos
1 f (s ) 4

V (r )e

sin r dr 2 sin d dr V (r ) r 0

散射因子和散射方向有关，即和s有关， 在特殊情况下，如当k→k0，S→0, sin r 1 r
2维正方格子的布里渊区
二维正方晶格的布里渊区
二维长方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
体心立方晶格的第一布里渊区

体心立方晶格的倒格子是 面心立方格子。本图中用 实心圆点标出了倒格点。 在倒空间中画出它的第一 布里渊区。如果正格子体 心立方体的边长是a，则倒 格子为边长等于4π /a的面 心立方。
2.2.1 劳厄方程
§2.2 晶体对X射线衍射的劳厄条 件
hc 12.25 ＝ ( A) eV V
＝
劳厄(1879-1860)
劳厄方程（劳厄条件）：
弹性散射：入射波和散射波有相同的波长 非弹性散射：入射波和散射波的波长不同
CO OD Rl (s s0 ) Rl (k k0 ) 2
●在第N区外面与第N区有共同边界的小多面体构成第N+1布里 渊区。
●每个布里渊区的总体积相等，
对于已知晶体结构，如何画出其第一布里渊区？ 布里渊区作图法： 布拉菲 格子
晶体 结构
倒格子 点阵
中垂面（ 中垂线）
布里 渊区
正格子 基矢
倒格子 基矢
a1 ai , a2 aj 2 2 b1 i , b2 j a a


2.13. 物理量的傅立叶展开
由晶格的周期性可知：在任意两个原胞的相对应点上，晶体的 物理性质相同.
V r V r Rl V (r l1a1 l2 a2 l3a3 )



展开成傅立叶级数：
e
ik Rl
k k 1 ikr 系数： V (k ) V (r )e dr
正格（点位）矢： R n l a1 l a 2 l a 3 1 2 3
倒格子 倒格子基矢
a1 , a 2 , a 3
b1 , b 2 , b3
倒格（点位）矢： K n h b1 h b2 h b3 1 2 3
2 （0， 0， 0） a
2 1 1 1 （ ， ，） a 2 2 2
2 （ 1， 0， 0） a
2 1 1 （ ，， 0） a 2 2
与 X 射 线 及 晶 体 衍 射 有 关 的 部 分 诺 贝 尔 奖 获 得 者
年 份 学 科 1901 物理 1914 物理 1915 物理 1917 物理 1924 物理 1937 物理 1954 化学 1962 化学 1962 生理医 学
2.1.2 倒格子的性质
1. 正、倒点阵基矢间的关系：
2π ai b j 2π ij
0
2π 2. Ω*
3
(i j )
i j
2 (a2 a3 ) {[(a3 a1 ) a2 ]a1 [(a3 a1 ) a1 ]a2 } 3 正倒格子原胞体积乘积： *
得奖者 伦琴Wilhelm Conral Rontgen 劳埃Max von Laue 亨利.布拉格Henry Bragg 劳伦斯.布拉格Lawrence Bragg. 巴克拉Charles Glover Barkla 卡尔.西格班Karl Manne Georg Siegbahn 戴维森Clinton Joseph Davisson 汤姆孙George Paget Thomson 鲍林Linus Carl Panling 肯德鲁John Charles Kendrew 帕鲁兹Max Ferdinand Perutz Francis H.C.Crick、JAMES d.Watson 、Maurice h.f.Wilkins Dorothy Crowfoot Hodgkin 霍普特曼Herbert Hauptman 卡尔Jerome Karle 鲁斯卡E.Ruska 宾尼希G.Binnig 罗雷尔H.Rohrer 布罗克豪斯 B.N.Brockhouse 沙尔 C.G.Shull