2 A J ：；［则 || A 「一—仙二 -------------'a+1 23设「_1 J ，当a满足条件时，A 可作LU 分解。

(试卷一)一 (10 分)已知％ =1.3409, x 2 =1.0125都是由四舍五入产生的近似值， 判断x-i x 2及x 1 - x 2有几位有效数字。

二(1多项式三(15分)设f(x)・ C 4［a,b ］，H (x )是满足下列条件的三次多项式H (a)二 f (a) , H (b)二 f (b) , H (c) = f (c) , H (c)二 f (c)( a ：：： c ：： b )求f (x) -H(x)，并证明之。

1四(15分)计算，: =10』。

o1 +X五(15分)在［0，2］上取X 。

= 0, X 1 = 1, X 2 = 2，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代 数精度。

六(10分)证明改进的尢拉法的精度是 2阶的。

七(10分)对模型y ■ = ■・y ,■：■ 0，讨论改进的尢拉法的稳定性。

八(15分)求方程x 3 4x 2 - 7x - 1 = 0在-1.2附近的近似值，；=10 "。

(试卷二)一 填空(4*2分)1 { k (x) }k£是区间［0，1］上的权函数为'(x)=x 2的最高项系数为1的正交多项式族，其中1（x ） =1，贝y . X 0（ x ）dx = ------------ ， 1（X ）工 -------数值分析试题集3 2 * * *4设非线性方程f (x)二(x -3x - 3x -1)(x • 3) = 0，其根& = -3 ,他 =-1，则求为的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 -------------------------------------- 。

广1 —0.5 a '二(8 分)方程组AX=b，其中A= — 0.5 2 -0.5，X, R3l -a -0.5 1 』1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时雅可比迭代收敛最快？2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。

"V " = f(X y)三(9分)常微分方程初值问题丿'的单步法公式为y n* = y n」+2hf (x n, y n)，求该、、y°= y(x°)公式的精度。

四(14分)设A X =b为对称正定方程组1求使迭代过程X k 1二X k •〉(b-A・X k)收敛的数〉的变化范围；『2 -1 -1、、1、『0、2用此法解方程组-12 0-X2=1L1 0<X3」(取初值X。

=( 1,1,1)T，小数点后保留4位，给出前6次迭代的数据表)(试卷三)on一设A= ，求A的谱半径P (A)，范数为1的条件数cond (A)1。

(—5 1丿设f (x) =3x2 5,x i =i, (i =0,1,2，…)，分别计算该函数的二、三阶差商f [X n , x n1 x 2],f[x n, X n 1 ,x n '2 , x n '3]设向量x = (% , X2 , X3)TX" + 2x2+ x3,问它是不是一种向量范数？请说明理由。

若定义||x若定义11X ||二2-1-1 x1 3x2-12X3，问它又是不是一种向量范数？请说明理由。

-10 ,将矩阵分解为1」A二LU，其中L是对角线元素l H0(^ 1,2,3)的、 2五 设有解方程12 - 3x 2cosx =0的迭代法x n 1 = 4亠cosx n31证明：对任意x 0三(-：：,：：)，均有lim Xn = x ( x 为方程的根);2取X 。

=4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过 10；，列出各次迭代值;3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

六对于求积公式1求该求积公式的代数精度； 2 证明它为插值型的求积公式。

(试卷四)一填空题(每空5分，共25分)1设精确值为x =0.054039412，若取近似值x^ 0.05410281，该近似值具有 效数字。

22 设 f(x) =3x 5，X i =i (i = 0,1,2,)，则三阶差商 f[x n ,x n 1,x n 2,x n 3](1 1、3 A =，贝U P(A)= -------------- 。

5 1丿 勺+1 2"T 亠4 设A=，当a 满足条件 ------------ 时，必有分解式 A=LL ，其中'、、a 4 丿素为正的下三角阵。

112 1112 35 求积公式 f(x)d^ - f(—) _一 f(—) • _ f(—)的代数精度为 --------------- 。

0 3 4 3 2 3 4二(10分)设f (X )• C 3[ 0,1]，试求一个次数不超过 2的多项式P(x)，使得p(0) = f(0) =1, p(1) = f(1) =e, p(1) = f (1) =e三(20分)1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式11 1f(x)dx ： 3【2f (4)------- 位有L 是对角线元bf (x)dx :ab 「a If (a) f (b)(b - a)2121f (b) - f (a)-f (!) 2f2且其余项为「窘宀)((a®) 2利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式Xn h2f(X)dX ：「f (X n)-f (X o) 112x o这里：T n =h」f(X o) f(X!)f(x nj p - f(X n) , X iIL2 2四(15分)试确定系数：•，[,，使微分方程的数值计算公式y i • (y nj y n) h y.」y n)具有尽可能高的局部截断误差。

(符号说明：Y nj = y (X n _1), y n = Y (X p))3 2五(15分)方程X - X -1 = 0在X。

= 1.5附近有根，对于给定的迭代关系式, 1X k 1 =1 兀，试问：X k1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。

2、估计该迭代式的收敛速度。

广1-0.5 a 、「1、六(15分)方程组AX = b，其中A =-0.52-0.5，b =2-0.51>L丿试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的a取值，并用2至3个a的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。

(说明：数值实验的数据请以列表形式写出。

)(试卷五)一填空题(每空5分，共25分)1已知X1 =1.3409，X2 =1.0125都是由四舍五入产生的近似值，X1 X2的有效数字是几位---------- 。

22设f(x) =3x 5，X i =i (i =0,1,2,)，则二阶差商f[X n,X n 1,X n 2H --------------------------- 。

‘1 1、3 A = ，则II A || 1 = ---------------------- 。

心1丿a +1 2、4设A= ，当a满足条件----------- 时，A可作LU分解。

T 4丿n5设X i (i =0,1, 2, ,n)是互异节点，对于k=0,1, 2厂，n，、x：l i(x)二 ----------- 。

i=0二(10分)三(25分)1设f(x)在〔a,b 1上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式2利用这个公式推导以下复化求积公式xn这里：T n -h 2 f (X 。

) f (xjf (X n 」)2 f(X n ) ,X ii3对于给定精度＜ -10 -4，利用上述求积公式T n ，选取合适的求积步长 h ，计算I 二e的近似值。

f (x)dxaf (a) (b - a) f (a) (b一 a)2f (a)(b-a)3 6f (x)dx T nxof (x n )-f (X 。

)1二 x 。

i h, h =2dx求该公式的精度。

2五（15分）设有解方程12 —3x • 2cosx 二0的迭代法x n d - 4 - cosx n31证明：对任意X 。

•（-==<=），均有limxn 二x* （ x*为方程的根）；n —^c2取x o =4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过 10 "，列出各次迭代值;3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

六（15分）设方程组| 5x 1 2x 2 x 3 - -12 -x 1 4x 2 2x 3 二 20 2x 1 -3x 210x 3 = 31给出雅可比迭代算式；2说明其收敛性；3取初始向量X 。

=（0,0,0）T ，给出其前6步迭代所求出的近似值。

（说明：数据请以列表形式写出。

）/、_4、/A 、》\（试卷八）一填空题（每空5分，共25分）1已知x 1 = 1.3409 , x 2 = 1.0125都是由四舍五入产生的近似值， x 1 x 2的有效数字是几位 ---------- 。

2 设 f （x ） -3x 2 5 , X j =i （i =0,1,2,），则二阶差商 f[x n ,xn 1,x n .2^ ----------------- 。

A 门3 A = 51，则 || A|| 严----------- 。

<5 1丿a +1 2、4 设A=，当a 满足条件 ----------- 时，A 可作LU 分解。

< T4丿n5 设 X i （i =0,1, 2,,n ）是互异节点，对于 k =0,1, 2厂，n ,、x ：l i （x ）二 ------------ 。

i=0二（10分）由下表求插值多项式四（10分）常微分方程初值问题y 二 f(x,y) y 。

=y(x °)的数值公式为y n 1 二 2头一 y n 」—hf(X n ，y n ),（25分）1设f（x）在〔a,b 1上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式b 2 3(b — a) (b — a)f (x)dx ： f (a) (b - a) f (a) f (a)-a 2 62利用这个公式推导以下复化求积公式Xn h2f (X)dx ：「—I f (X n^ f (X o) I6x of（xo）f（xi）中（—。

M好1 3对于给定精度•；：=10 一4,利用上述求积公式T n,选取合适的求积步长h，计算I = . e0 的近似值。

y ' = f (x, y)四(10分)常微分方程初值问题丿y ' "的数值公式为y n出=2y n—y nJLi y。