第 4 讲巧数长（正）方形的个数
数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规
律，应用规律。

长方形是用“点”或者“线”来数的，而正方形是用“块”来数的。

数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和
数正方形的公式：1、一个被划分成m×n 的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的
个数是：
m×n＋（m-1）×（n-1）＋（m-2）×（n-2 ）＋⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＋1×【n-（m-1）】（其中m<n）
2 、当m=n时，即一个划分成n×n=n2个小正方形的正方形中，共可以数出正方形的个数是：n2＋（n-1）2＋⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＋22＋12
典型例题：
1、长方形的构成必须有长和宽，下图中有许多长方形，你能数出它们有多少个？
分析与解答:
因为长方形的构成与长的线段数有关，也与宽的线段数有关，所以数长方形的个数必须要看长与宽两个因素
上图上长有6 条线段，即3＋2＋1=6（个）宽边上有3 条线段，即2＋1=3（个）因此，根据数长方形公式：6×3=18（个）答：上图中共有18 个长方形。

2、下图中共有多少个长方形？
分析与解答：
这道题比例1 横竖都多了一条线，那么长方形的个数明显增多了，利用公式仍然要数出长边上的线段数和宽边上的线段数即
长边上的线段和：4＋3＋2＋1＝10 个宽边上的线段和：3+2+1=6个
因此根据数长方形公式：10×6=60 个
答：上图中共有60 个长方形。

3、下图中共有多少个正方形？
分析与解答：
我们先来数一数：只含一个正方形的有9个（即3×3=9）；含有4个正方形的有4个（即
2×2=4）；含有9 个正方形的有1个
通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为1× 1+2× 2+3×3=1+4+9=14 个，以后我们碰到类似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。

4、下图中共有多少个正方形？
分析与解答：
这道题显然与上题不一样，虽然都是由基本小正方形组成，但长和宽里的个数不一样，即小正方形拼接成了一个长方形，那么方法也要有所改变。

先看长边上小正方形的个数，有5 个，再看宽边上小正方形的个数，有3 个，我们还用数的方法试试，只含有一个小正方形的有3×5=15个，含4 个小正方形的有（3-1 ）×（5-1 ）=8个，含9个小正方形的有（3-2 ）×（5-2 ）=3 个，通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为：
3× 5＋（3-1 ）×（5-1 ）＋（3-2 ）×（5-2 ）=26个
答：图中共有26 个正方形
5、数一数，下图中共有多少个长方形？
分析与解答：
这道题和前4 个题不同，不是横竖规范的分割，这道题意在提醒同学遇到问题不能
思维定式，不能按上面所讲的规律求解，我们可以用枚举法找出个数，灵活解决问题，先给图中每个基本图形编上序号
再分类数一数：
（1）、6 个基本图形中有4 个长方形：①、③、④、⑥
（2）、由两个基本图形组成的长方形有3 个：② +④、③ +⑤、③ +④
（3）、由3 个基本图形组成的长方形有2 个：① +③+⑤、② +④+⑥
（4）、由6 个基本图形组成的长方形有1 个：① +②+③+④+⑤+⑥ 所以上图中共有长方形：4+3+2+1=10个答：上图中共有10 个长方形。

基础练习：
1、下图中共有多少个长方形？
2、下图中共有多少个长方形？
3、下图中共有多少个正方形？
4、下图中共有多少个正方形？
5、下图中共有多少个正方形？
提高练习：
1、数一数图中长方形的个数
2、数一数下图中有多少个正方形？
3、下图中共有多少个正方形？
4、下图中共有多少个正方形？。