复合函数的导数(二)·教案示例
目的要求
1．掌握复合函数的求导法则．
2．会用复合函数的求导法则解决一些简单的问题．
内容分析
1．本节重点是复合函数求导法则的应用．
2．应用之一是求分式、根式、三角函数式等复合函数的导数．
例2在教科书原题基础上，增加几道小题作为学生训练题，然后提出熟练以后可简化过程，并予以示范．
例3是根式形式的复合函数求导，首先应将根式表示为分数指数，
以方便使用幂函数求导公式，然后设中间变量＝
对求导，介绍两种求法．方法一是作为商对求导，方法二是看成＝－＋，即看成＝－＋，＝－，仍用复合函数求导法则求导．用到的求导u x x u 1u 1v v 1x 1x x
x
111--- 法则或公式，解题的过程应向学生清晰地展示．当然，可引导学生思考并完成．
3．应用之二是解决实际应用问题．教师除了教学生会学数学，更重要的是引导学生会用数学．培养学生应用数学解决实际问题的意识和能力是数学教学的根本任务．应用问题在习题中配置了求切线方程，这里增加一道应用例题，证明一个组合等式，目的在于引导学生应用复合函数的求导法则及赋值法来解答，同时重温倒序相加法、通项变换法等证法，这就体现了复合函数求导法则的应用广泛性，也体现了思维的多样性和变通性，培养了发散思维能力，更重要的是可以激发学生学好用好数学的意识和积极性．
4．通过这节的学习，应使学生对复合函数的概念、求导法则和步骤及其应用，有一个整体的把握．
教学过程
1．复习求导法则
让学生回答复合函数定义、求导法则、求导步骤．
本节将在应用中熟练掌握复合函数的求导．
2．应用求导法则
(1)应用之一 对复合函数式求导
例2 求下列函数的导数：
(1)y (2)y sinx (3)y cos(3x x 6)(4)y 2＝；＝；＝；＝．113142()
--+x x 请学生上台完成．
答案：
(1)12(1(2)2xcosx (3)3sin(3x )(4)x 1+x
22---365x x )；；；． 注：这里有分式型、根式型、三角函数型的复合函数求导．
师生一起评议．可表扬四位同学完成得较好．接着提请注意，熟练后可省写步骤，并作示范．如，解(1)可表达为
y ′x ＝[(1－3x)-4]′＝－4(1－3x)-5·(－3)＝12(1－3x)-5．
这里最后结果可写负指数或分数指数．
出示教科书例3并讲解．
其中对＝求′，可让学生在草稿上完成．此处，教师可u u x x x
1- 作如下指导：
方法一 按商的求导法则求导．
方法二先化为＝－＋，即＝－＋，＝－，按复合 u 1u 1v v 1x 111--x
函数求导．
(2)应用之二 解简单的应用问题
增例当∈时，求证：＋＋＋…＋＝·． n N C 2C C nC n 2
*n n 2n 3n n n 11- 引导学生分析，联想到二项展开式
(1x)C C x C x C x (*)n n 0
n 1n 22n n n ＋＝＋＋＋…＋．
对比展开式通项与待证和式通项，可决定对式求导并C x kC (*)n k
k n k
赋值x ＝1证得．
视学生水平由教师讲解或学生完成证明．
证明：由＋＝＋＋＋…＋，(1x)C C x C x C x n n 0
n 1n 22n n n
两边对x 求导，得
n(1x)10C 2C x nC x
n 1n 1n 2n n n 1＋·＝＋＋＋…＋．-- 令x ＝1，得
n 2C 2C nC n 1n 1
n 2n n ·＝＋＋…＋．-
注：应向学生讲清(1＋x)n 是作为复合函数对x 求导的．
对此题再思考．在《排列、组合和概率》一章中，我们用的证法是倒序相加法、通项变换法，不妨重温一下．
方法一 倒序相加法
令＝＋＋…＋－＋S C 2C (n 1)C nC n n 1
n 2n n 1n n -
(1)
(1)式右边倒序，写为
S nC (n 1)C (n 2)C C n n n
n n n n 2n 1＝＋－＋－＋…＋--1
(2)
注意到组合数性质＝＝，，…，C C (r 01n)n r
n
n r - (2)式可改写为
S nC (n 1)C (n 2)C C n n 0
n 1n n 1＝＋－＋－＋…＋n 2-
(3)
将(1)、(3)两式相加(注意错位)得
2S n(C C C C C )n n 0
n n ＝＋＋＋…＋＋n n n n 121-
即2S n ＝n ·2n
∴S n ＝n ·2n-1
即＋＋…＋＝·C 2C nC n 2
n 1n 2n n n 1- 方法二 通项变换法
kC k n nC kC nC n k
n 1k
1n k
n 1
k ＝··＝·＝即＝n k n k n k n k !!()!()!()![()()]!----------11111
在这一等式中顺次取k ＝1，2，…，n ，并相加得
C 2C nC nC nC nC n(C C C )n 2n 1
n 2n n n 1
＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝·n n n n n n n n ---------10111
110
1111
3．反馈练习
学生完成教科书练习第1、2题
4．课堂小结
由＝，＝可得复合函数＝．y f(u)u (x)y f[(x)]ϕϕ
关于复合函数的导数，要理解法则，掌握步骤，善于应用．
(1)法则 y ′x ＝y ′u ·u ′x
(2)步骤 分解——求导——回代(熟练后可省写步骤)
(3)应用 能对复合函数求导；能解有关的应用问题 布置作业
教科书习题3．4第2(3)(4)、3题．
研究题已知曲线＝≤≤在点处 y (100x)(0x 100)M 40035
2++-x 有水平切线，求点M 的坐标．
略解：易得
y ′＝－．x
x 400352+ 令y ′＝0，解得x ＝15．
点M 的坐标是(15，76)．。