课时作业(十一)(第一次作业)1．直线a是平面α的斜线，过a且和α垂直的平面有()A．0个B．1个C．2个D．无数个答案 B2．给定下列四个命题①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案 D3．若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是() A．若mβ，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案 C解析若mβ，α⊥β，则m与α的关系可能平行也可能相交，则A为假命题；选项B中，α与β可以平行也可能相交，则B为假命题；选项D中β与γ也可能平行或相交(不一定垂直)，则D为假命题；故选C.4.在如图所示的三棱锥中，AD⊥BC，CD⊥AD，则有()A．面ABC⊥面ADC B．面ABC⊥面ADBC．面ABC⊥面DBC D．面ADC⊥面DBC答案 D5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为CC1的中点，则平面PBD垂直于()A．平面A1BD B．平面D1BDC．平面PBC D．平面CBD答案 A6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED答案 D7．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析因为α∩β＝l，所以lβ，所以n⊥l.故选C.8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于90°答案 D解析对于选项A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，因为D1O⃘平面A1BC1，BE平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正确；对于选项B，连接B1D，因为O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平面A1BC1，所以MO⊥平面A1BC1，故正确；对于选项C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角，因为△A1C1B为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；对于选项D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为二面角M－AC－B的平面角，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.9.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________(填序号)．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE.答案②解析由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确．10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明(1)因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又E F⃘面ABC，BC面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为直三棱柱ABC－A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D.又A1D⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以A1D⊥面BB1C1C.又A1D面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.11．如图，四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB.(1)求证：平面SAC⊥平面SBD；(2)求证：平面SAC⊥平面ABCD.证明(1)连接AC，BD，使AC∩BD＝O.∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵SB＝SD，∴SO⊥BD，又SO∩AC＝O，∴BD⊥平面SAC，又∵BD平面SBD，∴平面SAC⊥平面SBD.(2)由(1)知BD⊥平面SAC，BD平面ABCD，∴平面SAC⊥平面ABCD.12.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.证明(1)取AC中点N.连接MN，BN，则MN∥EC，∵EC⊥平面ABC，∴平面EAC⊥平面ABC.∴MN ⊥平面ABC ，且MN ＝BD ，MN ∥BD ，∴四边形MNBD 为矩形，∴DM ∥BN ，而BN ⊥平面AEC ，∴DM ⊥面EAC ，∴DM ⊥AE.∴DE ＝DA. (2)由(1)知，DM ⊥面EAC ，DM 面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA. (3)由(1)知，DM ⊥面EAC ，DM 面ADE ， ∴平面DEA ⊥平面ECA.13．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE.证明 如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC.∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E.∴A ′N ⊥BE.∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD. 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN ，∴CD ⊥A ′N. ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE. 又A ′N平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE.课时作业(十一)(第二次作业)1．(2015·浙江)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.() A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m答案 A解析面面垂直的证明主要是找线面垂直，此题在选项中直接给出两个条件，便于考生根据判定定理进行直接选择，相对较为基础．如果采用排除法，思维量会增加．2．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC答案 C解析∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，∴DF∥BC.∴BC∥平面PDF.故A正确．连接AE，PE，则AE⊥BC.PE⊥BC，∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE.故B正确．又∵BC平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC.故D正确．∴选C.3．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则△ABC是()A．正三角形．直角三角形C．锐角三角形．钝角三角形答案 A4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为()A.32.22C. 2 . 3答案 C解析如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设AA1＝1，则AO＝22，∴tan∠A1OA＝122＝2，故选C.5．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，则图中互相垂直的平面有()A．2对B．3对C．4对D．5对答案 D解析∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.∵AB⊥AD，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.同理，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC.共有5对平面互相垂直，故选D.6．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定答案 D解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H—DG—F的大小不确定，故选D.7．四边形ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD.∵E、F分别为CD、BD的中点，∴EF∥BC，∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE，故选D.8.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 D解析∵PA⊥平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．∵∠BAC＝90°.∴二面角的大小为90°.9.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是这长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V－AB－C的度数是________．答案60°解析如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为二面角V－AB－C的平面角．易知△VEF为正三角形，所以∠VEF ＝60°.10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC 上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________．答案 1解析∵AB⊥平面BC1，C1F平面BC1，CF平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.11.如图，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明连接AC交BD于点F，连接EF.∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.12.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面PAD⊥平面PAB；(2)若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．解析(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴PB⊥AD.∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平面PAB.又∵AD平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.(2)由(1)的证明知，∠PAB为平面PDA与平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60°，∴PB＝3a.∴V P－ABCD＝13·a2·3a＝3a33.13．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．解析(1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE，而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二＝3，∠PBA＝60°.故二面角A－面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAABBE－P的大小为60°.1．(2018·辽宁省育才学校阶段测试)如图，在几何体ABDCE中，AB＝AD，M是BD的中点，AE⊥平面ABD，MC∥AE，AE＝MC.(1)求证：平面BCD⊥平面CDE；(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC.证明(1)∵AB＝AD，M为线段BD的中点，∴AM⊥BD.∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD.∴MC⊥AM.又MC∩BD＝M，∴AM⊥平面CBD.又MC∥AE，MC＝AE，∴四边形AMCE为平行四边形，∴EC∥AM，∴EC⊥平面CBD，∴平面BCD⊥平面CDE.(2)∵M为BD中点，N为ED中点，∴MN∥BE.由(1)知EC∥AM且AM∩MN＝M，BE∩EC＝E，∴平面AMN∥平面BEC.2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．解析(1)证明：因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA.所以PD⊥平面ABCD.又BC平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.(2)因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，所以V P－ABCD＝13S正方形ABCD ·PD＝83.由题意易知DA⊥平面MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，所以V P－MAB＝13×12×1×2×2＝23.所以V P－MAB∶V P－ABCD＝1∶4.。