例2-15：判定点K是否在两平行直线AB和CD所决定的平面内 （图2－49（a））。 分析：如果点K在给定的平面内，它必在该平面内的一条直 线上。因此，只要通过点K的某一投影在（或k‘），在给定的 平面内作一条直线的投影，看点K的另一投影k’（或k）是否在 该直线的同面投影上，即可判定点K是否在所给定的平面内。
例3-10：判定图3-14（a）所示的直线AB与平面P是否垂直。 分析：如果AB⊥P，则AB的水平投影ab，必垂直于平面P内 水平线的水平投影；同时AB的正面投影a’b’，必垂直于平面 P内正平线的正面投影。
例 3-11：判定图 3-15所示的直线 AB与铅垂面P是否垂直。 分析判定：因为铅垂面P内水平线的水平投影，与它的水平 投影p重合；铅垂面内平行于V面的直线，又只能是铅垂线；所 以与铅垂面P垂直的直线，一定是水平线，而且其水平投影与 平面的水平投影（有积聚性）垂直。从图中可以看出，虽然 ab⊥P，但a’b’不平行于OX轴，故直线 AB与铅垂面P不垂直。 同理，与正垂面垂直的直线，一定是正平线，而且其正面投 影与正垂面的正面投影垂直，由此可判定，直线与正垂面是否 垂直。
例2—16：已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和正面投 影a’b’d’，完成该四边形的正面投影见图2—50（a）。 分析：因为ABCD为一平面四边形，所以点C必在ABD所决 定的平面内，因此点C的正面投影C’可运用在平面内取点的 方法求得。
例2—17：在两平行直线AB、CD所决定的平面内，作一距 H 面为15的水平线，如图(2-52(a)) 分析：水平线的正面投影平行于OX轴，它到OX轴的距离， 反映水平线到H面的距离，虽然平面内所有的水平线，其正 面投影都平行于OX轴，但距OX轴为15的只有一条，故应先作 其正面投影，再求其水平投影。
例2—19：求ΔABC（alc，a’b’c’）与 H 面的倾角，见图 2 一55（a）。 分析：ΔAB C与H 面的倾角，就是该平面的最大坡度线 与H 面的倾角。因此，只要求出该平面的最大坡度线的两个 投影，然后利用直角三角形法，即可求得最大坡度线与H 面 的倾角α。
例2－20 包含点A（a，a‘）作一用迹线表示的铅垂面P， 且与V面的倾角为300［图2-56（a）］。 分析：因为铅垂面的水平迹线有积聚性，所以PH必通过点 A的水平投影a；又因水平迹线与OX轴的夹角，反映该平面与 V面的倾角，故PH的方向可定。
例3-12：过点 A作一平面，与两条平行线DE和FG所决定的平 面平行，如图 3-17。 分析：由两平面互相平行的几何条件可知，只要过点A作两 条相交直线，与已知平面内的两条相交直线对应平行（其同 面投影都对应平行），则过点A的这两条相交直线所决定的平 面，必与已知平面平行。
例3-13：判定图 3-18（a）所示的ΔABC与ΔDEF是否平行。 分析：如果ΔABC∥ΔDEF，则在ΔDEF内必能作出两相交 直线，与ΔABC的两边对应平行（其同面投影都对应平行）， 否则ΔABC不平行于ΔDEF。
例3－3：判定直线AB与正垂面P是否平行（图3-4） 分析判定：正垂面P内的所有直线（包括水平投影与ab平 行的直线）的正面投影，都积聚在Pv上。因为题中给出 a’b’∥Pv，故可以判定直线AB与正垂面互相平行。
例3－4:求直线AB与铅垂面P的交点K，并判定投影的可见性 (3－6（a）)。 分析：因为交点K是直线AB与铅垂面P的公有点，铅垂面P的 水平投p有积聚性，所以直线AB的水平投影ab与p的交点k，即 为AB与平面P交点K的水平投影。
例2-2： 已知点B的正面投影b‘和侧面投影b”，求其水平投影 b，如图2—10（a）所示。
例2－3：已知点A的坐标为（20、10 、15），求作点A的三面 投影a、a’和a”。 分析：从点 A的三个坐标值可知，点 A 到 W 面的距离为 20，到 V 面的距离为 10倒 H 面的距离为15。根据点的投影 规律和点的三面投影与其3个坐标的关系，即可求得点A的3个 投影。
例3－7：求图 3-10（a）所示的直线 AB与ΔCDE的交点， 并判定投影的可见性。
பைடு நூலகம்
例3-8：过点M作直线MN垂直于ΔABC，并求其垂足，如图312（a）所示。
例3-9：过点A作平面与直线MN垂直（图3-13（a））。 分析：由直线与平面垂直的几何条件可知，只要过点A作两条 相交直线均与MN垂直，则这两条相交直线所决定的平面，既包 含点A，又与MN垂直。
例2-1：已知点A的水平投影a和正面投影a’，求其侧面投影a”， 如图2－9(a)所示。 分析：由点的投影规律得知，点的正面投影与侧面投影的 连线垂直于OZ轴，故a”必在过a’所作的OZ轴的垂线（OX轴的平 行线）上。又知点的侧面投影到OZ轴的距离等于水平投影到OX 轴的距离，即a”az=aax。因此，只要在过a’对OZ轴所作的垂线上 截取aza”＝aax，即可得a”。
例2-7 :已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a’，并 知AB对H 面倾角为300，求: AB的正面投影a’b’。 分析：由于点A的正面投影a’（即其z坐标）已知，所以 只要求出A、B两点的z坐标差，即可确定点B的正面投影b’。 由上述直角三角形法的原理可知，以ab为一直角边，作一锐 角为300的直角兰角形，则300角所对的直角边，即为A、B两 点的Z坐标差。
例2-6：已知直线AB的正面投影 a’b’和点 A的水平投影 a，并 知AB=25，求AB的水平投影ab及AB对V面的倾角β，如图2-23(a) 所示。 分析：由点的投影规律可知，b应在过b’所作的OX轴的垂线 上，因此只要求出AB两点的y坐标差，即可确定b。根据直角三 角形法的原理，以a’b’为一直角边。以25为斜边作一直角三角形， 它的另一直角边即为AB两点的y坐标差，y坐标差所对的角即为 AB对V面的倾角β。本题有两个解。
例2－21：包含水平线AB作一与H 面倾角为300的平面，见图 2—57（a）。 分析：平面对H 面的倾角α，就是该平面最大坡度线与H 面的倾角；最大坡度线又与平面内的水平线垂直；因此只要作 一条与AB相交垂直、且与H 面成300角的直线（即为所求平面 的最大坡度线），该直线与AB所决定的平面，即为所求的平面。
例2-10：已知：直线AB和CD相交于点K，并知AK：KB=1：2，根 据图给的投影，求AB的正面投影a’b’和CD的水平投影cd 分析：由直线上的点分线段为定比的性质可知，若AK：KB=1： 2，则ak：bk 也必等于1：2，由此可求得交点K的水平投影。 又因交点K是两直线AB和CD的公有点，故k’必在c’d’上。点C的水 平投影和点B的正面投影分别位于dk和a’k’的延长线上。
例3-1：过点 A作一水平线 AB，与ΔCDE平行，见图3-2（a）。 分析：ΔCDE（Δcde，c’d’e’）的空间位置一经给定，该平 面水平线的方向也就随之而定。虽然过点A可作无数条水平线， 而与ΔCDE平行的直线只有一条，它必与ΔCDE内的水平线平行。
例3-2: 判定直线AB与ΔCDE是否平行（图3-3（a））。 分析：由直线与平面平行的几何条件可知，如果AB∥ΔCDE， 则在西CDE内必能作出与AB平行的直线，否则AB不平行于ΔCDE。
例3－21：判定图 3-31（a）所示的平面 P与ΔABC是否 垂直。 分析：由两平面垂直的几何条件可知，如果P⊥ΔABC， 则在ΔABC内必包含平面P的垂线。因此，欲判定P与ΔABC 是否垂直，可过ΔABC内的任一点作平面P的垂线，然后根 据直线在平面内的几何条件，判定该垂线是否在ΔABC内。
例3-22：判定图3-32（a）所示的ΔABC与铅垂面P是否垂直。 分析：由于与铅垂面垂直的直线只能是水平线，所以欲判定 ΔABC与铅垂面P是否垂直，只要看ΔABC内的水平线的水平投 影，与铅垂面的水平投影p是否垂直即可。
例2-18:过ΔABC的顶点B，作该平面内的正平线见图2-53 （a）。 分析：由直线在平面内的几何条件可知，过顶点 B作直线 L，平行于西ABC的一条直线，则直线L必在该平面内。如果所 作的直线L，平行于ΔABC的一条正平线，则直线L即为该平面 内过顶点B的正平线。因此，欲过顶点B作该平面内的正平线， 须在ΔABC内先任作一条正平线。
例2-8：根据图2－26（a）所示，在直线AB上找一点K，使 AK：KB=3：2 分析：由上述投影特性可知，AK：KB=3：2，则其投影 ak： kb=a’k’：k’b’＝3：2。因此，只要用平面几何作图的方法， 把ab或a’b’为3：2，即可求得点K的投影。
例2－9：判定点K是否在侧平线AB上（图2－27a〕。 分析：由直线上点的投影特性可知，如果点K在直线AB上， ak：kb=a’k’：k’b’，因此，可用这一等比关系来判定K是否在 直线AB上。另外，如果点K在直线AB上，则k”应在a”b”上。所 以，也可作出它们的侧面投影来判定。
例3-14：求图 3－21 (a) 所示的铅垂面 P与ΔABC的交线， 并判定其投影的可见性。
例3-15：求图3－22 (a)所示的正平面ΔABC与铅垂面P的 交线，并判定其投影的可见性。
例3-16：求图3—23（a）所示的ΔABC与水平面P的交 线，并判定其投影的可见性。
例3-17：求图3－25（a）所示的ΔABC与ΔDEF的交线， 并判定其投影的可见性。 分析：为了作图简便起见，求交点时所选的直线， 最好与相交平面的各投影都有重影部分（因为只有这样 的直线与平面的交点，才有可能在平面图形的范围之 内），如DE、DF与ΔABC的两投影，以及 AC与ΔDEF的 两投影都有重影部分，所以宜在 DE、DF和AC中任选两 条，求与另一平面的交点。
例3-18：求图3－26（a）所示的ΔABC与ΔDEF的交线， 并判定其投影的可见性
例3-19：求图3-28（a）所示的ΔABC与ΔDEF的交线。
例3-20：包含直线MN作一平面，与ΔABC垂直，如图3-30（a） 所示。 分析：由两平面垂直的几何条件可知，只要过直线MN上的 任一点，作一条直线与ΔABC垂直，则这两条相交直线所决定 的平面必与ΔABC垂直。