生活中的圆周运动【学习目标】1、能够根据圆周运动的规律，熟练地运用动力学的基本方法解决圆周运动问题。
2、学会分析圆周运动的临界状态的方法，理解临界状态并利用临界状态解决圆周运动问题。
3、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离心运动。
【要点梳理】要点一、静摩擦力提供向心力的圆周运动的临界状态 要点诠释：1、水平面上的匀速圆周运动，静摩擦力的大小和方向物体在做匀速圆周运动的过程中，物体的线速度大小不变，它受到的切线方向的力必定为零，提供向心力的静摩擦力一定沿着半径指向圆心。
这个静摩擦力的大小2f ma mr ω==向，它正比于物体的质量、半径和角速度的平方。
当物体的转速大到一定的程度时，静摩擦力达到最大值，若再增大角速度，静摩擦力不足以提供物体做圆周运动所需要的向心力，物体在滑动摩擦力的作用下做离心运动。
临界状态：物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。
此时物体的角速度rg μω=（μ为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。
2、水平面上的变速圆周运动中的静摩擦力的大小和方向无论是加速圆周运动还是减速圆周运动，静摩擦力都不再沿着半径指向圆心，静摩擦力一定存在着一个切向分量改变速度的大小。
如图是在水平圆盘上的物体减速和加速转动时静摩擦力的方向：（为了便于观察，将图像画成俯视图）要点二、竖直面上的圆周运动的临界状态 要点诠释：1.汽车过拱形桥在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。
对于变速圆周运动，需要特别注意几种具体情况下的临界状态。
例如：汽车通过半圆的拱形桥，讨论桥面受到压力的变化情况（1）车在最高点的位置Ⅰ时对桥面的压力对车由牛顿第二定律得： Rv m F mg N 2=-为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即0N F > 所以车的速度应满足关系gR v <临界状态：汽车在最高点处桥面对汽车的支持力为零，此时汽车的速度gR v =。
如果gR v =，在不计空气阻力的情况下，汽车只受到重力的作用，速度沿着水平方向，满足平抛运动的条件，所以从此位置开始，汽车将离开桥面做平抛运动，不会再落到桥面上。
（2）汽车沿着拱形桥面向下运动时车对于桥面的压力当汽车在跨越最高点后的某一位置Ⅱ时由牛顿第二定律得2N v mg sin F m Rθ'⋅-=解得汽车对于桥面压力的大小2N v F mg sin m Rθ'=⋅-可见在汽车速度大小不变的情况下，随着角θ的不断减小，汽车对桥面的压力不断减小。
临界状态：当2arc v sin Rgθ=时，汽车对桥面的压力减小到零。
从此汽车离开桥面做斜下抛运动。
所以要使得汽车沿着斜面运动，其速度必须满足：0NF '>，即车的速度v gR 'sin <θ。
2.细线约束的小球在竖直面上的变速圆周运动例如，用长为R 的细绳拴着质量是m 的物体，在竖直平面内做圆周运动。
在最高点处，设绳子上的拉力为T根据牛顿第二定律列方程得：2mv T mg R+=由于绳子提供的只能是拉力，0T ≥ 所以小球要通过最高点，它的速度值v gR ≥。
临界状态：在最高点处，当只有重力提供向心力时，物体在竖直面内做圆周运动的最小速度是v =若在最高点处物体的速度小于Rg v =这个临界速度，便不能做圆周运动。
事实上，物体早在到达最高点之前，就已经脱离了圆周运动的轨道，做斜上抛运动。
3.轻杆约束小球在竖直面上的变速圆周运动例如，一根长度为R 轻质杆一端固定，另一端连接一质量为m 的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。
在最高点，设杆对球的作用力为F N ，规定向下的方向为正方向，根据牛顿第二定律列方程得：2N mv F mg R+=因为杆既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以可以00N N F F ≥<，也可以 当0N F <时，杆对球提供向上的支持力，与重力的方向相反； 当0N F ≥时，这与绳子约束小球的情况是一样的。
所以轻杆约束的情况可以存在两个临界状态：①在最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力，V大小等于小球的重力； ②在最高点处的速度是Rg v =时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力。
球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力；球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。
要点三、物体做离心与向心运动的条件外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心运动要点四、处理圆周运动的动力学问题时应注意的问题 （1）确定向心力的来源。
向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力。
（2）确定研究对象的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向。
例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图所示，小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O ′点，而不是在球心O ，也不在弹力F N 所指的PO 线上。
（3）物体在静摩擦力作用下做匀速圆周运动时，相对滑动的临界条件是恰好达到最大静摩擦力。
（4）物体在不同支承物（绳、杆、轨道、管道等）作用下，在竖直平面做圆周运动，通过最高点时的临界条件。
①轻绳模型如图所示没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：2mv mg R=得 v =临界过或恰好转不过的速度）能过最高点的条件：v v ≥临界，当V v 临界＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．不能过最高点的条件：V V 临界＜，实际上球还没到最高点时就脱离了轨道.②轻杆模型（2）如图（a ）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，管壁支撑情况与杆一样。
当v ＝0时，N ＝mg （N 为支持力）当 0v ＜ N 随v 增大而减小，且mg N 0＞＞，N 为支持力． 当v=Rg 时，N ＝0当v ＞Rg 时，N 为拉力，N 随v 的增大而增大若是图（b ）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力．【典型例题】类型一、水平圆周运动的临界问题例1、如图所示，细绳的一端系一小球，另一端悬于光滑的水平面上方h 处(h 小于绳长)，球在水平面上以转速n 做匀速圆周运动，求水平面受到的压力多大？要使球离开水平面，转速n 的值至少为多大？【思路点拨】将此问题看成是一般的动力学问题，其加速度是向心加速度，按照解决动力学问题的一般方法，可以将问题解决。
【解析】本题属于圆锥摆问题，物体的运动轨迹在水平面上。
对球受力分析并进行正交分解，如图所示：yT F N θO xmg由牛顿第二定律得22T sin ma m htan (n )θθπ==⋅⋅向 ① mg θT F N =+cos ② 由①②式得22N F mg m(n )h π=-若要使得球离开平面，则0=N F ， 有h n m mg 2)2(π=所以hg n π21=球的转速至少为 【总结升华】分析临界条件是解决综合性问题的重要环节。
球恰好离开平面是一种临界状态，出现此临界状态的条件是球和平面的作用力为零。
类型二、竖直圆周运动的临界问题例2、如图所示，轻杆AB 长1m ，两端各连接质量为1kg 的小球，杆可以绕距B 端0.2m 处的O 轴在竖直平面内转动。
设A 球转到最低点时速度是4m/s ，求此时B 球的运动速度的大小和杆对O 轴的作用力的大小和方向？【思路点拨】用轻杆约束物体在竖直面上做圆周运动时，要注意到物体受到的力可以是拉力，也可以是压力，还可能是零。
要重视临界状态的分析。
【解析】因为A 、B 两球固定在同一根杆上，它们具有相同的角速度，所以ω==OBvOA v B A ，B 球的运动速度s m v OAOBv A B /1==A 球在最低点，要做圆周运动一定受到杆的拉力 由牛顿第二定律得：OA mv mg F AA 2=-解得A 球受到的拉力N OAmv mg F AA 302=+=所以杆对O 轴的作用力大小是30N ，方向向下； 对B 球在最高点，以竖直向下为正方向， 由牛顿第二定律：OBmv mg F BB 2=+解得杆对B 球的作用力N mg OBmv F BB 52-=-=负号表示B 球受到杆的作用力为方向竖直向上的支持力所以此时杆的OB 段对O 轴的作用力大小是5N ，方向竖直向下；O 轴受到杆的作用力是OB 和OA 两段杆对它的作用力的合力，大小是5+30=35N ，方向竖直向下。
举一反三【高清课程：圆周运动的实例分析 例9】【变式】质量为m 的小球，用长为l 的线悬挂在O 点，在O 点正下方处有一光滑的钉子C ，把小球拉到与O 在同一水平面的位置，摆线被钉子拦住，如图所示.将小球从静止释放.当球第一次通过最低点P 时0( )A.小球线速度突然增大B.小球角速度突然增大C.小球的向心加速度增大D.摆线上的张力突然增大 【答案】BCD类型三、机车转弯问题例3、在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向左拐弯时，司机右侧的路面比左侧的路面高一些，路面与水平面间的夹角为θ。
设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，θ应等于多少？【思路点拨】分析解答此题的关键是理解汽车拐弯时向心力的来源：在水平面上拐弯时，向心力由车轮与水平面之间的静摩擦力提供，在具有恰当坡度的路面上拐弯时，向心力可能完全由路面对汽车的支持力的水平分量提供。
【解析】解答此题的关键是理解汽车拐弯时向心力的来源：汽车在水平面上做匀速圆周运动，在半径方向上摩擦力等于零，汽车拐弯的向心力由汽车重力和路面对它的支持力的合力提供，汽车受力如图所示，由牛顿第二定律Rgv Rg v R mv mg 2122tan ,tan ,tan -===θθθ 【总结升华】必须明确：尽管路面是有一定坡度的，汽车是在一个水平面内做圆周运动，向心力是水平的不是沿着斜面的。
类型四、连接体的圆周运动的临界问题例4、 如图所示水平转盘可绕竖直轴OO '旋转，盘上水平杆上穿着两个质量相等的小球A 和B ，现将A 和B 分别置于距轴r 和2r 处，并用不可伸长的轻绳相连，已知两个球与杆之间的最大静摩擦力都是f m ，试分析转速ω从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，A 、B 受力情况如何变化？【思路点拨】解决本题关键是：动态的分析物理过程，发现隐藏在过程中的临界状态；理解最大静摩擦力出现的条件，弄清外力提供的向心力和圆周运动需要的向心力对运动的影响。