第9章 作业参考解答第190页1. 试用平面直角坐标系把二维波动方程分离变数。
解：二维波动方程：022=∆-u a u tt（1） 分离时间变数t 和空间变数y ,x ，令：)y ,x (v )t (T )t ,y ,x (u = （2） 代入（1），得： 222k vvT a ''T -≡∆= （3）分解为两个方程：022=+T a k ''T（4） 022=+∆v k v（5）方程（4）的解为kat sin D kat cos C )t (T +=（6）（5）式是亥姆霍兹（Helmholtz ）方程，它在直角坐标下的表示式为022222=+∂∂+∂∂v k yvx v （7） 设：)y (Y )x (X )y ,x (v = （8）代入上式，整理后有λ≡-=+X)x ("X k Y )y (''Y 2 （9）⎩⎨⎧=+两端齐次边界条件0x )x (X )x (''X λ （10）⎩⎨⎧=-+两端齐次边界条件2y )y (Y )k ()y (''Y λ （11）第190页2. 试用平面极坐标系把二维输运方程分离变数。
解：二维输运方程：022=∆-u a u t（1） 分离时间变数t 和空间变数ϕρ,，令：),()(),,(ϕρϕρv t T t u = （2） 代入（1），得： 222'k v v Ta T -≡∆= （3）分解为两个方程：0'22=+T a k T（4） 022=+∆v k v（5）方程（4）的解为()t ka Ce t T 2)(-=（6）（5）式是亥姆霍兹（Helmholtz ）方程，它在极坐标下的表示式为011222222=+∂∂+∂∂+∂∂v k v v v ϕρρρρ（7） 将ϕρ,分离，设：)()(),(ϕρϕρΦ=R v （8）代入上式，整理后有λϕρρρρρ≡ΦΦ-=++)(")(')("222k R R R R （9）得（考虑自然的周期条件）⎩⎨⎧Φ=+Φ=Φ+Φ)()2(0)()(''ϕπϕϕλϕ （10）()0222222=-++R m k d dR d R d ρρρρρ （11）解（10）得本征值与本征函数为),2,1,0(,2 ==m m m λ),2,1,0(sin cos )( =+=Φm m B m A m m m ϕϕϕ令 ρk x =，则方程（11）化为m 阶贝塞尔（Bessel ）方程()022222=-++R m x dx dR x dxR d x （12）解得)()()()()(ρρk N C k J C x N C x J C x R m m m m 2121+=+=（13）第194页 2. 在00=x 的邻域上求解0"=-xy y 。
解：0"=-xy y（1）这里0)(=x p ，x x q -=)(，所以00=x 是方程的常点。
设∑∞==0)(k k k x a x y ，（2）代入（1），整理得0)1)(2(0102=-++∑∑∞=+∞=+k k k k kk x a x ak k即0)1)(2(1102=-++∑∑∞=-∞=+k k k k kk x a x ak k（3）由0x 项系数，得02=a ；由k x 项幂次的系数和为零，得系数递推公式)1)(2(12++=-+k k a a k k 或 )1(3-=-k k a a k k（5）由（5）得085223=====+ a a a a k ，03231a a ∙=， 0036!641235656a a a a ∙=∙∙∙=∙=，0069!974123568989a a a a ∙∙=∙∙∙∙∙=∙= 03)!3()23(41a k k a k -∙=14341a a ∙=113)!13()13(52a k k a k +-∙=+)()()!13()13(52)!3()23(41)(1100013103001313033x y a x y a x a k k x a k k x a xa x y k k k kk k k k kk +=+-∙+-∙=+=∑∑∑∑∞=+∞=∞=++∞=由递推公式)1)(2(12++=-+k k a a k k ，可求出幂级数)(0x y 和)(1x y 的收敛半径∞=++==∞→+-∞→)1)(2(lim lim21k k a a R k k k k就是说，只要x 有限，级数解就收敛。
第212页 2. 在00=x 的邻域上求解0)1('2"2=+-+y l l xy y x 。
[这个方程即（9.1.2）] 解：0)1('2"2=+-+y l l xy y x （1）点00=x 是x x p 2)(=的一阶奇点，2)1()(x l l x q +-=的二阶奇点，即00=x 是方程的正则奇点。
在00=x 的邻域内，解具有如下形式∑∞=+=0)(k s k k x a x y ，00≠a（2）将（2）代入（1），整理得[]0)1()1)((0=+-+++∑∞=k kk xl l s k s k a（3）比较两边最低次幂项0x 的系数，得：[]0)1()1(0=+-+l l s s a ，因为00≠a ，得判定方程：0)1()1(=+-+l l s s两个根为 l s =1，)1(2+-=l s 。
将大根l s =1代入（3），比较k x 的系数有：0)12(=++l k k a k得：0=k a ，（0≠k ）； 得一特解：l x a x y 01)(= 因为1221+=-l s s 为整数，将∑∞=+-+=0)1(12ln )()(k kk l xb xx x Ay x y （4）代回方程（1），有ln )()1('ln )(2"ln )(0)1(10)1(10)1(12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑∞=+-∞=+-∞=+-k k k l k k k l k k k l x b x x x Ay l l x b x x x Ay x x b x x x Ay x即[]0)1(2"2ln )1('2"0)1('0)1(0)1(21'11112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-+∑∑∑∞=+-∞=+-∞=+-k k k l k k k l k k k l x b x l l x b x x x b x x Ay Axy x y l l xy y x A 因为)(1x y 是方程的解，所以，与x ln 项有关的系数为零，将l x a x y 01)(=代入，整理得()0)12()12(0)1(0=+-++∑∞=+-k l k k lx l k k b x a l A（5）当12+=l k ，l l k l k x x=+=+-12)1(，由l x 项的系数和为零得00)12(120=∙+++l b a l A ，所以 0=A ，12+l b 可取任意值由（5）)(1+-l k x 项的系数和为零得：()0)12(=+-l k k b k ，则0=k b ，（0≠k ，12+≠l k ）所以仅存系数0b 及12+l b 项，同时将0=A ，)1(2+-=l s 代入（4），得()l l l l l l x b x b x x b b x y 12)1(0)1(121202)(++-+-+++=+=方程（1）的解为)1(1012)1(0021)()()(+-++-+=++=+=l l l l l l x C x C x b x b x a x y x y x y第10章 作业参考解答第240页 1① 以勒让德多项式为基，在]1,1[-上把342)(x x x f +=展开为广义傅里叶级数。
解：由于)(x P l 是l 次多项式，而)(x f 是四次多项式，所以∑==4)()(l ll x P f x f ，即4433242314202443322104433221100348352583023238321)33035(81)35(21)13(21)()()()()(2x f x f x f f x f f f f f x x f x x f x f x f f x P f x P f x P f x P f x P f x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-⋅+-⋅+-⋅++=++++=+ 比较两边系数，得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===-=-=+-18352250830232308321434231420f f f f f f f f f 解得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====3585474565143210f f f f f所以)(358)(54)(74)(56)(512)(4321034x P x P x P x P x P x x x f ++++=+= 第241页 5. 在本来是匀强的静电场0E中放置导体球，球的半径为0r 。
试求解球外的静电场。
解：取球坐标系，以球心为极点，过球心而平行于0E的直线为极轴。
因为是导体球，所以球内电势处处相等，设为u 0。
无论是感应电荷产生的电势，或是总电势都是绕极轴旋转不变的，所以问题与ϕ无关。
又因球面上感应电荷在无限远处产生的电场为零，所以在无穷远处，仍是原来的电场0E。
因为在球外处处没有电荷，所以在球外的电势满足Laplace 方程。
定解问题为⎪⎩⎪⎨⎧+-≈=>=∆∞→=000000U cos r E u lim ,u u )r r (u r r r θ （1）在轴对称情况下，（1）的一般解为∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=01)(cos 1),(l l l l l l P r B r A r u θθ代入边界00cos lim U r E u r +-=∞→θ得，000cos )(cos U r E P r A u l l l l r +-==∑∞=→∞θθ解得：00U A =，01E A -=，)1,0(0≠=l A l 所以有∑∞=+++-=0100)(cos 1cos ),(l l l lP r B U r E r u θθθ代入边界00u u r r ==，得0010001u )(cos P r B cos r E U l l l l=+-∑∞=+θθ比较两边的广义傅里叶系数，得0000000=-==U u r U u B )(，3001r E B =，)1(0≠=l B l ，所以最终解为)(cos 1)(cos ),(12300010θθθP rr E u rP E r u ++-= 第241页 6. 均匀介质球，半径为0r ，介电常数为ε，把介质球放在点电荷q 04πε的电场中，球心跟点电荷相距d )(0r d >。