1
T i 1 i {R}
{Q}
3.2.5 PUMA560运动学方程
（2）连续连杆变换
定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学 方程，坐标系{N}相对于坐标系{0}的变换矩阵为：
N0T 01T 21T 23T N N1T
变换矩阵 N0T 是关于n个关节变量的函数，这些变量可以通 过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆再基坐标系 （笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。
3.2.5 PUMA560运动学方程
已知各关节转角，求末端位姿
腕部机构简图
（ １ ） θi 是 从 Xi-1 到 Xi 绕 Zi-1 旋 转 的 角 度 ； （ ２ ） di 是 从 Xi-1 到 Xi 沿 Zi-1 测 量 的 距 离 ； （３）ai是从Zi-1到Zi沿Xi测量的距离； （４）αi是从Zi-1到Zi绕Xi旋转的角度。
➢ 确定关节轴，并画出轴的延长线。 ➢ 找出关节轴i和i+1的公垂线或交点，作为坐标系i的原点。 ➢ 规定Zi的指向是沿着第i个关节轴。 ➢ 规定Xi轴得指向是沿着轴i和i+1的公垂线的方向，如果关节轴
i和i+1相交，则Xi轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面。 ➢ Yi 轴的方向由右手定则确定。 ➢ 当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1} 重合，对于坐
注意:左乘.
c s 0 0 c 0 s 01 0 0 0
s
c
0
0
0
1 0 00 c s 0
0 0 1 0 s 0 c 00 s c 0
0
0
0
1
0
0 0 10 0
0 1
3.1机器人运动学基础
3.1.3 运动位置和坐标
1.用柱面坐标表示末端运动位置 从基础坐标系出发变换的顺序为：沿x轴平
移r，接着绕z轴旋转α最后沿z轴平移z;
0 0 0 1 0
0
0 10 0 0 1
0
0
0
1
3.1机器人运动学基础
3.1.3 运动位置和坐标
2.用球面坐标表示末端运动位置
沿Z平移r,绕Y轴转β,绕Z轴转α.
Sph( , , r) Rot(z, )Rot( y, )Trans(0,0, r)
c s 0 0 c 0 s 01 0 0 0
➢坐标系{R}是由坐标系{Q}绕Z轴旋转
Θi得到； ➢坐标系{i}是由坐标系{R}沿着Z轴平移
di得到。
3.2.5 PUMA560运动学方程
变换矩阵： i1PiR1T QRT QPT PiT iP
化简： i1Pi1iT iP
这里：
T i1 i
iR1T
QRT
QPT
PiT
根据变换过程：i1iT RX (i1)DX (ai1)RZ (i )DZ (di )
s
c
0
0
0
1 0 00 1 0 0源自0 0 1 0 s 0 c 00 0 1 r
0
0
0
1
0
0 0 10 0 0 1
cc
sc s
0
s c
0 0
cc ss
c
0
rcs
rss
rc
1
机器人正运动学
机器人正运动学方程
已知杆件几何参数和关节角矢量求机器人末端 相对于参考坐标系的位置和姿态
机器人运动学
1 机器人运动学基础 2 机器人正运动学方程 3 机器人逆运动学方程 4 机器人的微分运动与雅可比矩阵
机器人运动学基础
• A矩阵和T矩阵 • 运动姿态和方向角 • 运动位置和坐标
3.1机器人运动学基础
3.1.1 A矩阵和T矩阵
机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成.
用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换.
（3） 连杆参数
对于转动关节,θi为关节变量,其他三个连杆固定不变; 对于移动关节, di为关节变量,其他三个连杆固定不变;
这种用连杆参数描述机构运动关系的规则称为DenavitHartenberg参数,所以对于一个6关节机器人,需要用18个参数就可 以完全描述这些固定的运动学参数,可用6组(ai, αi , di) 表示.
系{n} 的原点位置,使之满足dn=0; 对于移动关节 n, 设定Xn轴的方向使之满足θn=0.0,当dn=0时,选取坐
标系{n} 的原点位于Xn-1轴与关节轴n的交点位置.
3.2.3连杆附加坐标系的规定
（3）在连杆坐标系中对连杆参数的归纳
ai=沿Xi轴,从Zi移动到Zi+1的距离; αi=绕Xi轴,从Zi旋转到Zi+1的角度; di=沿Zi轴,从Xi-1移动到Xi的距离; θi=绕Zi轴,从Xi-1旋转到Xi的角度;
（1） 连杆中的中间连杆
描述连杆连接的两个参数: 1) link offset 连杆偏距 相邻两个连杆之间有一个公共的 关节轴, 沿着两个相邻连杆公共轴线方向的 距离可以用一个参数描述为连杆 偏距di.
当i为移动关节时,连杆偏距为一变 量.
2) joint angle 关节角 描述两个相邻连杆绕公共轴线旋
s i 1
0
si si1 ci si1
c i 1
0
ai1ci
ai
1s
i
di 1
c1 0 s1 0
A1
s1
0
0 1
c1 0
0, 0
0
0
0 1
c4 0 s4 0
A4
s 4 0
0 1
c4 0
0, 0
0
0
0
1
c2 s2 0 a2c2
A2
s
2
0
0
c 2 0 0
0
a2
s
2
,
1 0
相对于参考坐标系的变换，位置和姿态都 有变化，变换矩阵为：
Cyl (z, , r) Trans(0,0, z)Rot(z, )Trans(r,0,0)
1 0 0 0c s 0 01 0 0 r c s 0 rc
0 1 0 0s
c
0 00 1 0 0 s
c
0
rs
0 0 1 z 0 0 1 00 0 1 0 0 0 1 z
2.Link twist 连杆转角α 假设作一个平面,并使该平面与 两关节轴之间的公垂线垂直,然 后把关节轴i-1和关节轴i投影到 该平面上,在平面内轴i-1按照右 手法则绕ai-1转向轴i,测量两轴角 之间的夹角为αi-1.
3.2.1连杆描述
• 下图中的连杆长度和连杆转角？
3.2.2连杆连接的描述
A1表示第一连杆对基坐标的位姿 A2表示第二连杆对第一连杆位姿
则第二连杆对基坐标的位姿为 T2 A1 A2
如此类推，对于一个六连杆机器人， 有
T6 A1 A2 A3 A4 A5 A6
机器人最后一个构件（手部）有三个自 由度用来确定其位置，三个自由度确定 其方向。用表示机械手的位置和姿态， 这样六连杆机器人在它的活动范围内可 以任意定位和定向
ny s1[c2 (c4c5c6 s4s6 ) s2s5c6 ] c1(s4c5c6 c4s6 )
nz s2 (c4c5c6 s4s6 ) c2s5c6
即：
T i1 i
ScrewX
(ai1,i1)ScrewZ (di ,i )
{P}
ScrewQ (r,)代表沿着Q轴平移r，
再绕Q轴旋转的组合变换。
最后，得到相邻连杆的一般变换为：
ci sici1
i1iT
si
s
0
i
1
si cici1 ci si1
0
0
si1 ci1
0
ai1
s
i1c
i 1
ci1ci1
0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1
注意:坐标变换是右乘.即后面的变
换乘在右边.(绕新轴转,连乘)
3.1机器人运动学基础
3.1.2 运动姿态和方向角
3.用滚\仰\偏转表示运动姿态
横滚:绕Z轴转φ, RPY(, , ) Rot(z,)Rot( y, )Rot(x, )
俯仰:绕Y轴转θ, 偏转:绕X轴转ψ.
有一个变量。
2.为求解
T i 1 i
，对每个连杆建立
坐标系，分解成4个变换子问题，每个
子变换只包含一个连杆参数。 3.定义三个中间坐标系{P} {Q} {R}：
{P}
T i 1 i {R}
➢坐标系{P} 是由坐标系{i-1}绕X轴偏
转αi-1得到；
{Q}
➢坐标系{Q}是由坐标系{P} 沿着X轴平
移ai-1得到；
d2 1
c5 0 s5 0
A5
s5 0
0 1
c 5 0
0, 0
0
0
0 1
c3 0 s3 a3c3
A3
s 3 0
0 1
0
0
c 3 0 0
a3s
3
d3 1
c6 s6 0 0
A6
s 6 0
c 6 0
0 0 1 0
0
0 0 1
不同的坐标系下D-H矩阵是不同的，关键是约定!!
3.2.5 PUMA560运动学方程
3.1机器人运动学基础
3.1.2 运动姿态和方向角
2.用欧拉角表示运动姿态
欧拉角:绕Z轴转φ,再绕新Y轴转θ,绕最新Z轴转ψ.
Euler(, , ) Rot(z,)Rot(y, )Rot(z, )
c s 0 0 c 0 s 0c s 0 0
s c 0 0 0 1 0 0s c 0 0
0 0 1 0 s 0 c 0 0 0 1 0