9．BC
【分析】
由题可知M是三边中线的交点，且在中线三等分点处，由此依次计算判断即可得出结果.
【详解】
M为△ABC的重心， M是三边中线的交点，且在中线三等分点处，
对于A，由于△ABC为任意三角形，故中线不一定相等，则 不一定相等，故A错误；
对于B， D为BC的中点， ， ， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
12．ABD
【分析】
根据函数 求得 与 ，再根据 在 恒成立，确定 在 上单调递增，及 ，且存在唯一实数 ，使 ，从而判断A，B选项正确；再据此判断函数 的单调性，从而判断零点个数.
【详解】
由已知 得 ， ，
， 恒成立，
在 上单调递增，
又
时 ，且存在唯一实数 ，使 ，即 ，
所以 在 上是增函数，且 存在唯一极小值点 ，故A,B选项正确.
， 的最大值为 ，此时 即 ， ，（2Leabharlann ， ， ，， ，，
锐角△ABC中， ， ，
，即 的取值范围为 .
C．若|f( )−f( )|=2，则| − |的最小值为
D．函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得到函数y=−sin3x的图象
11．下列说法中正确的是（）
A．若数列 前 项和 满足 ，则
B．在等差数列 中，满足 ，则其前 项和 中 最大
C．在等差数列 中，满足 ，则数列 的前9项和为定值
D．若 ，则
5．已知 且 ，则 =（）
A． B． C． D．
6．已知等比数列 的前 项和为 ， 设 ，那么数列 的前15项和为（）
A．16B．80C．120D．150
7．已知 ，则（）
A． B． C． D．
8．对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用 表示解下 个圆环所需的移动最少次数，若 .且 ，则解下6个环所需的最少移动次数为（）
A．13B．16C．31D．64
（2）设 ， ， ，记数列 的前n项和为 ，求证： .
22．已知 ， ， .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 存在两个极值点 ，且 ，证明： .
参考答案
1．C
【分析】
由题意可知 实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.
【详解】
解：集合 与集合 均为点集， 实质是求 与 的交点，
所以联立组成方程组得 ，
（1）二次函数法：用求二次函数最值的方法（配方法）求其前 项和的最值，但要注意 ；
（2）图像法：利用二次函数图像的对称性来确定 的值，使 取得最值；
（3）项的符号法（邻项变号原则）：当 时，满足 的项数 ，使 取得最大值；当 时，满足 的项数 ，使取得最小值；即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使 取最值的 有两个.
【详解】
∵ ⊥ ，
∴ • cosA sinA＝0，
解得tanA ，A∈（0，π）．
∴A ．
∵acosB+bcosA＝csinC，
∴sinAcosB+sinBcosA＝sinCsinC，
∴sin（A+B）＝sinCsinC，C∈（0，π）．
∴sinC＝sinCsinC≠0，
∴sinC＝1，解得C ．
∴B＝π﹣A﹣C ．
【分析】
（1）设AB的高度为 ，利用直角三角形中的特殊角函数值及 即可求 的值.
（2）由（1）确定 的长度，结合余弦定理求 ，进而求CE的长.
【详解】
（1）设AB的高度为 在 中， ，有 .
在 中，因为 ，可得 .
由题意得 ，解得 .
（2）由（1）知，在 中 ，由余弦定理得 ，
所以在 中， ，得CE= .
13．13或
【分析】
根据分段函数的解析式分类讨论进行求解即可.
【详解】
当 时，因为 ，所以 ，显然符合 ；
当 时，因为 ，所以 ，而 ，所以 ，
故答案为：13或
14． .
【分析】
利用基本不等式可求出 的最小值.
【详解】
由基本不等式得 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 ，故答案为 .
【点睛】
（2）在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若 ，求 的取值范围.
20．已知函数 .
（1）若函数 在点(1，f(1))处的切线方程为 ，求 的值；
（2）当 时，记函数 在区间 上的最大值为M，最小值为N，求M-N的最大值.
21．已知 是数列 的前 项和， ， 且 ，其中
（1）求数列 的通项公式；
对于D， ，故D错误.
故选：BC.
10．CD
【分析】
利用 的图象关于直线 对称，即可求出 的值，从而得出 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.
【详解】
因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，
得 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，
对于A： ，所以 为奇函数，故选项A错误；
对于B： 时， ，函数 在 上不是单调函数；故选项B不正确；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正弦定理、数量积运算性质、和差公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．
【分析】
利用等差数列的前 项和公式以及等差数列的性质可得 ，设 ，利用等差数列的性质以及向量共线 ，即可求解.
【详解】
，
因此可设 ，
因此 ，于是 .
故答案为：
17．（1） 米；（2） 米.
解得 ，或 ，
从而集合 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2．D
【分析】
首先计算 ，然后利用共轭复数的特征计算 的值.
【详解】
，
，
.
故选:D.
【点睛】
本题考查复数的计算，属于基础题型.
3．A
【分析】
根据向量的坐标运算法则先计算得出 ，然后根据 ，利用向量垂直的坐标运算法则求解 的值.
本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是对代数式进行配凑，考查运算求解能力，属于中等题.
15．
【分析】
由 ⊥ ，可得 • cosA sinA＝0，解得A．由acosB+bcosA＝csinC，利用正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA＝sinCsinC，化简整理可得A，进而得出B＝π﹣A﹣C．
（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长.
18．设{an}是等差数列，(n∈N*)； 是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*).已知 ， ，b5=a3+a5，b7=a4+2a6.
（1）求Sn与an；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
19．已知向量 ， ， .
（1）求f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的取值集合M；
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
当 时，则有 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量垂直的坐标运算公式，设向量 ， ，则当 时， .
4．C
【分析】
根据已知的递推关系求 ，从而得到正确答案.
【详解】
， ，
， ， ， ，
，
所以解下6个环所需的最少移动次数为 .
故选：C.
5．C
【分析】
根据已知条件结合二倍角余弦公式有 ，求得 ，又 的范围和 符号确定角的象限，进而由同角三角函数关系求 ，即可求 值.
且 在 单调递减， 单调递增，
又 ， ， ，所以 在 上有两个零点，故D选项正确，C选项错误.
故选：ABD.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
海南省海口市海南中学2021届高三上学期第四次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 是 的共轭复数，则 （ ）
A． B． C． D．1
3．3.设向量 ， ， ，且 ，则 （）
答：AB的高为 米，CE的长为 米.
18．（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）首先根据已知条件得到 ，解得 ，从而得到 ，根据 ，解方程组即可得到 .
（2）首先根据 ，得到前 项和为 ，再分类讨论求数列 的前 项和 即可.
【详解】
（1）设等比数列 的公比为 ，且 .
由 ， ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 .
【详解】
因为f(x)=ex+3x是定义域R上的增函数，
所以 ，即 ，
所以 是方程 的两个根，
显然 不是方程的根，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极小值 ，
当 时， ，当 时， ，
画出函数 图象，如下图所示：
所以
所以实数k的取值范围是(e+3，+∞)，
故选：D