L[ f (t )] L[ f1 (t )] L[ f 2 (t )]
图 2-1
A (1 e sT ) s
或直接运用拉氏变换定义式求取
st T T e A sT L f (t ) f (t )e st dt Ae st dt A d (1 e ) 0 0 0 s s
k12 k13 d F ( s )( s 2) 3 ds


s 2

d 1 ds s ( s 3) 1 d2 2 ds 2
s 2

(2s 3) s 2 ( s 3) 2
s 2
s 2

1 4
1 d2 F ( s )( s 2) 3 2! ds 2
3
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【提示】基尔霍夫定律的时域表示式为：对任一结点，i (t ) 0 ；对任一回路，u (t ) 0 。 电阻 R 的运算阻抗就是电阻 R 本身， 电感 L 的运算阻抗是 Ls ， 电容 C 的运算阻抗是 1 Cs ， 其中 s 为拉氏变换的复参量。把普通电路中的电阻 R 、电感 L 、电容 C 全换成相应的运算 阻抗， 把电流 i (t ) 和电压 u (t ) 全换成相应的拉氏变换式 I ( s ) 和 U ( s ) ， 因此可得到根据拉氏 变换的线性性质而得出基尔霍夫定律的运算形式为：I ( s ) 0 ；对任一回路，U ( s ) 0 。 于是我们可以采用普通的电路定律，如欧姆定律、基尔霍夫定律和电压定律，经过简单 的代数运算，就可求解 I ( s ) 、 U ( s ) 及相应的传递函数。采用运算阻抗的方法又称为运算 法，相应的电路图称为运算电路。 8．求图 2-3 所示有源电网络的传递函数，图中 u1 (t ) 、 u 2 (t ) 分别是输入和输出电压。
最后联立上述方程，解得
R2C1 R3C 2 R3C1 R2 R3C 2 U 2 (s) 1 s U 1 (s) R1C1 R1 R1C1 s
这是 PID 控制器。 提示：上述传递函数是在理想运算放大器及理想的电阻、电容基础上推导出来的， 对于实际元件来说，它只是在一定的限制条件下才成立。 9．试求图 2-4 所示机械平动系统输入为 x ，输出为 y 时的传递函数
所以，线性化后原方程式右边只剩下前三项线性项。 7．求图 2-2 所示系统输入为 ui ，输出为 uo 时的传递函数
R1
U o (s) U i ( s)
C
ui
R2 C
uo
R1 ui R2 uo
（a）
（ b）
图 2-2 无源电网络 【解】 根据基尔霍夫定律，采用运算阻抗的方法，所以传递函数为 1 R2 U o (s) R2 Cs 1 Cs （a） 1 U i (s) ( R1 R2 )Cs 1 R1 R2 Cs U (s) R2 R1 R2 Cs R2 （ b） o 1 U i (s) R1 R2 Cs R1 R2 R1 Cs R2 1 R1 Cs
s 0


s 2
1 s ( s 3)

3 8
k 2 F ( s)s

1 ( s 2) 3 ( s 3) 1 s ( s 2) 3
s 0
1 24 1 3
k 3 F ( s )( s 3) s 3
F ( s ) 的部分分式为
s 3
Y ( s) 2 s 2 12s 6 1 5 4 s ( s 2)( s 3) s s 2 s 3
2
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所以
y (t ) 1 5e 2t 4e 3t
1 2 x x 2 在原点附近线性化。 x 2 【解】根据式（2-3） ，线性化后的方程应为 y y y A y x x x 0 0 x x 0 x 而 y ＝(2 2 x) x 0 2 x 0 1 y y ， 1， A 0 0 2 0 x x 故线性化后的方程为 1 y 2x x x 2 分析：本题方程中只有 x 2 是非线性项，只要将 x 2 在原点线性化就可以了。 x 2 在原点线性 化的结果是 x 2 x x (2 x) x 0 0 x 0 6．将非线性方程 y x
2
s4 k2 ( s 1) 3 ( 2s 1)( s 1) s 1 3 7 0.5 t f (t ) L1 F ( s ) L1 3e t 3.5e 2 s 1 s 1 3．求下面象函数的原函数 s 1 F ( s) 2 s ( s s 1) 【解】 F ( s ) 的部分分式为 k1 k 2 s k 3 k1 ( s 2 s 1) ( k 2 s k 3 ) s s 1 s ( s 2 s 1) s s 2 s 1 s ( s 2 s 1) 由等式相等，所以可知 s 1 k1 ( s 2 s 1) (k 2 s k 3 ) s 解得 F (s)
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第二章
习题集 物理系统的数学模型及传递函数
f (t )
1．求图 2-1 所示矩形脉冲的象函数 【解】图中的矩形脉冲函数可用解析式表示为 A 0 t T f (t ) 0 T t 所以， f (t ) 可以看作两个函数的叠加 f (t ) A 1(t ) A 1(t T ) 即可求得其象函数
1/ 2 1/ 4 3/8 1 / 24 1 / 3 3 2 ( s 2) s s3 ( s 2) ( s 2) 分别查表可求得 F ( s ) 的拉氏反变换为 F (s) 1 1 3 1 1 3t f (t ) L1 F ( s ) t 2 e 2t te 2t e 2t e 4 4 8 24 3 1 1 1 1 ( t 2 t 1 )e 2t e 3t 4 2 3 24 (t ) 5 y (t ) 6 y (t ) 6 ，其中， y (0) 2, y (0) 2 5．解方程 y 【解】将方程两边取拉氏变换，得 6 (0) 5sY ( s ) y (0) 6Y ( s ) s 2Y ( s ) sy (0) y s (0) 2, y (0) 2 代入，并整理，得 将y
sf X B ( s ) Y ( s ) k 2Y ( s )
解上述方程组，得
5
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fsk1 Y (s) X ( s ) k1k 2 fs (k1 k 2 ) 【提示】机械系统的建模可根据牛顿第二定律或达朗伯原理推导。牛顿第二定律：一物 体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，而且加速度与合外力同方向。 达朗伯原理：作用在物体上的合外力与该物体的惯性力构成平衡力系。达朗伯原理用公 是物体的加速度； Fi 0 ，其中， Fi 是作用在物体上的合外力； 式可表示为： m x x 是物体的惯性力。 m 是物体的质量； m x 对于机械系统的建模，取质量、弹簧、阻尼之间相关的连接点进行受力分析，并根 据牛顿第二定律建立该点处的力平衡方程；当有些连接点处的运动未知时，可认为是中 间参考点，联立方程后即可消去。
Y (s) X (s)
f m
k1
x
k1
xB
y k2（a） 图 2-4 机械平系统k2（b）
【解】 （a）根据牛顿第二定律，列写动力学微分方程 d ( x y) d2y f k1 ( x y ) k 2 y m 2 dt d t 即 d2y d ( x y) m 2 k2 y f k1 ( x y ) 0 d t dt 进行拉氏变换并整理 (ms 2 fs k1 k 2 )Y ( s) ( fs k1 ) X ( s ) 得 fs k1 Y (s) X ( s ) ms 2 fs k1 k 2 （b）设 B 点位移为 x B ，根据 B、C 点力平衡关系列写方程 对于 B 点 d ( x B y) k1 ( x x B ) f dt 对于 C 点 d ( xB y) f k2 y dt 上面两个方程两边同时进行拉氏变换（初始条件为 0） ，有 k1 X ( s ) X B ( s ) sf X B ( s ) Y ( s )
1
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k1 1 ； k 2 1 ； k 3 0
F ( s ) 的部分分式可求得 1 s 1 s 0.5 0.578 0.866 F (s) 2 2 2 s s s 1 s ( s 0.5) 0.866 ( s 0.5) 2 0.866 2 注： 0.5 0.578 0.866 则 F ( s ) 的拉氏反变换为
f (t ) L1 F ( s) 1 e 0.5t cos 0.866t 0.578e 0.5t sin 0.866t
4． 求下列象函数的拉氏反变换。
F (s) 1 s ( s 2) 3 ( s 3)
【解】运用部分分式展开法，有 k13 k k11 k12 k F (s) 2 3 3 2 ( s 2) s s 3 ( s 2) ( s 2) 求得待定系数 1 1 k11 F ( s )( s 2) 3 s 2 s －2 s ( s 3) 2
C1
u1 (t )
R2
C2
R2
C1
u3 (t ) R3
C2 R1
u 2 (t )
u1 (t )