2017-2018学年辽宁省五校下学期期末联考高一数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每题四个选项中只有一项符合题目要求）1.sin1470︒=（ ）A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-2.设向量a 与b 的夹角为θ，且(2,1)a =-，2(2,3)a b +=，则cos θ=（ ）A ．35-B ．35C ．5D ．5- 3.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．194.已知2cos()423πθ-=，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19 C.19- D ．79-5.已知下列命题：（ ）①向量a ，b 不共线，则向量a b +与向量a b -一定不共线 ②对任意向量a ，b ，则||||||||a b a b -≥-恒成立③在同一平面内，对两两均不共线的向量a ，b ，c ，若给定单位向量b 和正数λ，总存在单位向量c 和实数μ，使得a c b λμ=+ 则正确的序号为（ ）A ．①②③B ．①③ C. ②③ D ．①②6.已知O ，A ，B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，在其不的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）A ．12-B ．2 C. 12- D ．127.如图所示的茎叶图为高一某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n = C.12m =，12n = D ．24m =，10n = 8.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =，则sin()2A π+=（ ）A B ．459.若将函数8sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则44cos sin ϕϕ+=（ ）A ．1B ．12 C.14 D ．1810.有一块半径为R （R 是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰CDE ∆，其中O 为圆心，A ，B 在圆的直径上，C ，D ，E 在半圆周上，如图.设BOC θ∠=，征地面积为()f θ，当θ满足2()()sin g f R θθθ=+取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角θ和()g θ的最大值分别为（ ）A．21,(32R π+ B．21,(42R πC.2,(14R π+ D．2,(16R π+ 11.已知向量a ，b ，c 满足||2a =，||3b a b =⋅=，若2(2)()03c a c b -⋅-=，则||b c -的最小值是（ ）A.22+12.设ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3c os c os 5a Bb Ac -=，则ta n()A B-的最大值为（ ） A.35 B.13 C.38 D.34第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题中，每小题5分，共20分）13.三个数390，455，546的最大公约数为 ． 14.已知12,x x 是函数()2sin 2cos 2f x x x m =+-在[0,]2π内的两个零点，则12sin()x x += ．15.已知点O 为ABC ∆的外心，外接圆半径为1，且满足2340OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积为 ．16.对于函数sin ,[0,2]()1(2),(2,)2x x f x f x x π∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列3个命题：①任取12,[0,)x x ∈+∞，都有12|()()|2f x f x -≤恒成立； ②*()2(2)()f x kf x k k N =+∈，对于一切[0,)x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--在(1,)+∞上有3个零点； 则其中所有真命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据：（1）已知产量x 和能耗y 呈线性关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程^^^y b x a =+；（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产耗能为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考公式：^1122211()()()ˆˆn ni i i i i i nn ii i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，3A π=.（1sin()sin 2B C B --=时，求ABC ∆的面积； （2）求ABC ∆周长的最大值.19.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为ABC ∆的面积，且222)4S a b c =--. （1）求角A 的大小；（2）若a =b c >，D 为BC 的中点，且AD =，求sin C 的值.20.某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A 、B 、C 、D 四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：（1）试确定图中a 与b 的值；（2）若将等级A 、B 、C 、D 依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（3）从两校获得A 等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率.21.已知函数23()cos cos 2f x x x x =++. （1）当[,]63x ππ∈-时，求函数()y f x =的单调区间； （2）已知0ω>，函数()()212x g x f ωπ=+，若函数()g x 在区间2[,]36x ππ∈-上是增函数，求ω的最大值.22.已知向量33(cos,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x xb =-，函数()||1f x a b m a b =⋅-++，[,],34x m R ππ∈-∈.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值； （2）是否存在实数m ，使函数224()()49g x f x m =+，[,]34x ππ∈-有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2017-2018学年辽宁省五校高一下学期期末联考数学试题参考答案一、选择题：1-5：BACCD6-10：ADAAB11、12:AD二、填空题：13.1314.515.3216.①③三、解答题：17.解：（1）由对照数据，计算得：4166.5i ii x y==∑，42186i i x ==∑，4.5x =， 3.5y =，∴ˆˆˆ0.7,0.35ba y bx ==-=， 所以回归方程为ˆ0.70.35yx =+. （2）当100x =时，1000.70.3570.35y =⨯+=（吨标准煤），预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=（吨标准煤）.18.解：（1）由条件得：sin sin()sin 2A B C B --=，∴sin()sin()sin 2B C B C B +--=， ∴2cos sin 2sin cos B C B B =.①cos 0B =时，2B π=，3c =，∴1122233S ac ==⋅⋅=②cos 0B ≠时，2sin 2sin C B =，∴3B C A π===，2a b c ===，∴1sin 2S bc A ==∴S =（2）设ABC ∆的外接圆半径为R ，∴由正弦定理得：2sin sin sin a b cR A B C===，∴22sin sin 3a R A π===∴周长l a b c =++=22sin 2sin R B R C ++=2sin )B C +. ∵3A π=，∴23B C π+=，∴23C B π=-，∴2(0,)3B π∈，∴22sin()]3l B B π=+-32(sin )2B B =+， 24sin()6B π=++，∵2(0,)3B π∈，∴5(,)666B πππ+∈∴1sin()(,1]62B π+∈，∴max 6l =. 19.解：（1）由已知得2221sin )2bc A a b c =--∴sin A =，∴sin A A =，∴tan A =(0,)A π∈∴23A π=. （2）由cos cos ADB ADC ∠=-∠，由余弦定理得：2222AD BD AB AD BD +-=⋅2222AD DC AC AD DC+--⋅，∵D 中点BC 中点，∴BD DC ==AD =2220AB AC +=，即2220b c +=，∵2cos cos 3A π==2228122b c bc +-=-∴8bc =， ∵b c >∴4b =，2c =.∴2sin sin c A C a ===20.解：（1）由频数分布条形图得：633660a +++=∴15a =， 由频率分布条形图得：0.150.20.151b +++=∴0.5b =. （2）906801560335066760x ⨯+⨯+⨯+⨯==甲，900.15800.5600.2500.1573x =⨯+⨯+⨯+⨯=乙.（3）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E ，F ；乙校抽3人，分别记作M ，N ，Q ；所以从5人中任选2人一共有10个基本事件；,,,,,,,,,EF EM EN EQ FM FN FQ MN MQ NQ ，其中2人来自同一学校包含的基本事件为：,,,EF MN MQ NQ ， 所以所求的概率为：40.410P ==. 21.解：（1）1cos 23()222x f x x +=++sin(2)26x π=++，∵[,]63x ππ∈-∴单调递增区间为[,]66ππ-单调递减区间为[,]63ππ.（2）()()212x g x f ωπ=+=sin()23x πω++， 当2[,]36x ππ∈-，3x πω+∈2[,]3363ωππωππ-++， ∵()g x 在2[,]36ππ-上是增函数，且0ω>， ∴2[,]3363ωππωππ-++⊆[2,2]22k k ππππ-++，k Z ∈， ∴223322632k k ωππππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩∴534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩∵0ω>∴151212k -<<，k Z ∈∴0k =， ∴1ω≤∴ω的最大值为1. 22.解：（1）∵33coscos sin (sin )cos 22222x x x xa b x ⋅=⋅+⋅-=， 33(cos cos ,sin sin )2222x x x xa b +=+-，∴||(cosa b += ∵[,]34x ππ∈-∴||4cos 2cos a b x +==，()cos 22cos 1f x x m x =-+22cos 2cos x m x =-，令1cos [,1]2t x =∈，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2m t =，①当122m <即1m <时，当12t =时，min 112y m =-=-∴32m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2m t =时，2min 12m y =-=-∴m =，③当12m >即2m >是，当1t =时，min 221y m =-=-∴32m =舍，综上，m =.（2）令224()()049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049m x m x -+=， ∴3cos 7m x =或47m ，∵()y g x =，[,]34x ππ∈-有四个不同的零点， ∴方程3cos 7m x =和4cos 7m x =在[,]34x ππ∈-上共有四个不同的实根，∴31274173477m m m m ≤<≤<⎪⎪≠⎪⎪⎩∴763740m m m ⎧≤<⎪≤<⎪≠⎪⎪⎪⎩∴764m ≤<.。