斯定律求解。先假设内球壳的外表面上的感应电荷面密度，求出电场强度后，由两导体球壳间的电位差
确定出内球壳的外表面上的感应电荷面密度。
解 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电
b
荷。由于电荷分布具有球对称性，可用高斯定律求解。设内
球壳的外表面上的感应电荷面密度 σ 。根据高斯定律，有
a
4πε 0 r 2 E
答案
qmax
=
a2 3
×10−3 C， ϕmax
= 3a ×106 V
2-14 空气中有一内外半径分别为 a 和 b 的带电介质球壳，介质的介电常数为 ε ，介质内有电荷密度为
ρ = A 的电荷分布，其中系数 A 为常数。求总电荷及空间电场强度、电位的分布。若 b → a ，结果如 r2
何？
答案 q = 4πA(b − a)
ε 0br
3ε0 2
br
说明 此题的要点在于导体的表面上有未知的感应电荷分布，用高斯定律求电场时，必须注意考虑
感应电荷产生的电场。
2-16 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为 ρ = ρ0 C/m2 , 两圆柱面半径分别为 a 和 b ，轴线 相距为 c (c < b − a) ，如例 2.6 图所示。求空间各部分的电场。
⋅
v dS
=
D0∆Sevz
⋅ evz
+
D0∆S(−evz ) ⋅ (−evz ) =
2D0∆S
= σ∆S
s
注意侧面上 D0 的通量为零。
由边界条件可知 D0
|z=0+
−D0
|
z
=0−
=
σ 2
− (− σ ) = σ 2
因此求得 D0=σ/2，用矢量式表示时为
v D0
=
⎪⎩⎪⎨⎧σ2σ2(−evevzz )
故可求出极化电荷分布，再利用 D = ε0 E + P 和 ρ = ∇ ⋅ D 求出自由电荷体密度。
解 (1) 介质球内的束缚电荷体密度为
( ) ρp
= −∇ ⋅ P
=− 1 r2
d dr
r 2 Pr
=− 1 r2
d dr
⎜⎛ r 2 ⎝
K r
⎟⎞ ⎠
=
−K r2
在 r = R 的球面上，束缚电)
er
，
E
2
=
A(b ε0
− a) r2
e
r
2-15 在半径分别为 a 和 b 的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布，其电荷体密度 ρ = ρ0 C/m2。已知 外球壳接地，内球壳的电位为U0 ，如例 3.3 图所示。求两导体球壳间的电场和电位分布。
分析 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷。由于电荷分布具有球对称性，可用高
⎜⎜⎝⎛1 −
z ⎟⎞ a 2 + z 2 ⎟⎠
a
(2)若σ 不变，当 a → 0 时，则
Ez
=
σ 2ε 0
(1 −1)
=0
当 a → ∞ ，则
Ez
=
σ 2ε 0
(1 − 0) =
σ 2ε 0
(3)若保持 q
= πa2σ
不变，当 a
→
0
时，此带电圆面可视为一点电荷。则 Ez
=
q 4πε 0 z 2
当 a → ∞ 时，σ → 0 ，则 Ez = 0 。
ρ0
[b2 − a2
− a2 (b − a)]
ε0b
3ε0 2
b
得到
σ = ε0bU0 − ρ0 (b2 + ab − 2a2 ) a(b − a) 6a
故两导体球壳间的电位分布为
∫ ∫ ϕ(r)
=
b r
E(r)d r
=
b r
[
σa ε0r
2 2
+
ρ0 3ε 0
(r
−
a3 r2
)]d r
=
σ a2 (b − r) + ρ0 [b2 − r2 − a3(b − r)]
b
ρ0
a c
b
＝ ρ0
a c
＋
b −ρ0
a c
题 2-16 图
解 由高斯定律，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在空间任意一点 P 产生的电场（分别用 r、r’
表示场点到大、小圆柱轴线的距离矢量）。
在 r > b 区域中，
点 P 处总的电场为
E1
=
er
π b2 ρ0 2πε 0 r
=
ρ0b2r 2ε0r 2
σp
=
P ⋅en
=
Pr
r=R
=
K R
(2)由于 D = ε0 E + P ，所以
E= P ε −ε0
由此可得到介质球内的自由电荷体密度为
( ) ( ) ρ = ∇ ⋅ D = 1 d r2 d r
r 2 Dr
= ε
ε −ε0
1 r2
d dr
r 2 Pr
=ε K ε −ε0 r2
，
E1′
=
e r′
−π a2ρ0 2πε 0 r ′
=
−
ρ0a2r′ 2ε 0 r ′2
E
=
E1
+
E 1′
=
ρ 2ε 0
(
b2r r2
−
a2r r′2
′
)
在 r < b 且 r′ > a 区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为
点 P 处总的电场为
E2
=
er
πr2ρ 2πε 0 r
=
ρr 2ε 0
，
E2′
=
e r′
−π a2ρ 2πε 0 r ′
=
−
ρa2r′ 2ε 0 r ′2
E
=
E2
+
E2′
=
ρ0 2ε 0
(r
−
a2r′) r′2
在 r′ < a 的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为
E3
=
er
π r2ρ0 2πε 0 r
=
ρ0r 2ε 0
，
E3′
习题二
2-3 已知真空中静电场的电位ϕ(x) = x2 + U x V，求电场强度的分布及电荷体密度 ρ 。
ε0 d
解：
E
=
−∇ϕ
=
−
∂ϕ ∂x
ex
=
−⎜⎜⎝⎛
2x ε0
+
U d
⎟⎟⎠⎞e x
V/m
ρ
= ∇ ⋅ D = −ε 0∇ ⋅ E
= −ε 0
∂E x ∂x
=
−ε
0
⎜⎜⎝⎛
2 ε0
⎟⎟⎠⎞ = −2
分析 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为 a 的小圆 柱面内看作同时具有体密度分别为 ±ρ0 的两种电荷分布，这样在半径为 b 的整个圆柱体内具有体密度 为 ρ0 的均匀电荷分布，而在半径为 a 的整个圆柱体内则具有体密度为 −ρ0 的均匀电荷分布，如例 3.6 图 (b) 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
说明 在给定 E 或ϕ = 分布，可应用 ρ = ε∇ ⋅ E 或 ρ = −ε∇2ϕ 求电荷分布。但应注意：在 E 或ϕ 的 奇异点处可能有点电荷，而在 E 的突变面上，可能有面分布的自由电荷。
2-13 一个半径为 a 的导体球，要使得它在空气中带点且不放电，试求它所能带点最大电荷量级表面电
位各是多少？已知空气的击穿场强为 3×106 V/m。
答案
Ei
=
ρ0 ε 0ra
⎜⎛ ⎝
1 a
− re−α r
−
1 e−α r a
⎟⎞e ⎠
r
Eo
=
ρ0 ε 0ra
⎜⎛ ⎝
1 a
− ae−α r
−
1 a
e−α a
⎟⎞e ⎠
r
2-8
已知电场强度 E =
E0 r 3 a3
er , (0 ≤ r < a, E0为常数) ，求体电荷密度 ρ (r) ，其中介电常数为 ε
C/m2
2-4 半径为 a 的圆面上均匀带电，电荷面密度为 σ ，试求：(1)轴线上离圆心为 z 处的场强，(2)在保持 σ 不变的情况下，当 a → 0 和 a → ∞ 时结果如何？(3)在保持总电荷不变的情况下，当 a → 0 和 a → ∞ 时
结果如何?
解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为 r 、厚度为 dr 的圆环，它所带的电荷量为 dq = σ 2π r dr 。由
。
解：因为
由球坐标系中散度展开式
ρ = ∇ ⋅ D = −ε 0∇ ⋅ E
( ) ∇ ⋅
A
=
1 r2
∂ ∂r
r 2 Ar
+1 r sinθ
∂ ∂θ
(sinθ
Aθ
)+
1 r sinθ
∂Aφ ∂φ
得
( ) ρ
=∇⋅D
= ε∇ ⋅ E
=ε
1 r2
∂ ∂r
r 2 Er
= 5εE0r 2 a3
2-9 已知在半径为 a 的球体区域内外，电场强度矢量表达式为
∫ Q = ε 0
E
S
⋅
dS
=
ε
0 E(r)4πr
2
= q(1 + α r)e−α r
该球面 S 内的体分布电荷的总电荷量 Q′ 为
∫ ∫ ∫ Q′ = ρ dV = rρ(ξ )dξ = r − α 2q e−α ξ 4πξ 2dξ =q(1+ α r)e−α r − q