解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
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2
利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不 定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分 法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换， 得到复合函数的积分法，称为换元积分法。
x2 1 x2 dx ? 令 x sin t
x2 1 x2 dx (sint)2 1 sin2 t cos tdt
sin2 t cos2 tdt
目的是去掉根式。
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3
二 第一类换元法
若 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C .
设 u ( x)（且可微，根据复合函数微分法，） dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
C
5
5
熟练以后就不需要进行 u ( x) 转化了
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例4 求
x (1 x)2 dx.
解
x
(1 x)2 dx
x 11 (1 x)2 dx
1
1
[ (1
x)
(1
x)2
]d
(1
x)
ln(
x
1)
C1
(1
1
x)
C2
ln( x 1) 1 C (1 x)
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cos 3x cos 2x 1 (cos x cos5x), 2
cos
3
x
cos
2 xdx
1 2
(cos
x
cos
5
x)dx
1 sin x 1 sin 5x C.
2
10
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例13 求 csc xdx.
解
cs
sin x
sin2 x dx
1
1 cos2 x d(cos x)
第二节 换元积分法
(Substitution Rules)
一 问题的提出 二 第一类换元法（凑微分法） 三 第二类换元法 四 小结 五 思考与判断题
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一 问题的提出
我们知道 cos xdx sin x C
但是
cos2xdx sin2x C,
(sin2x C) cos 2x
2
2
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例7 sin3 xdx
解 sin3 xdx sin2 x sin xdx
正弦余 弦 (三1 角co函s2数x)积d c分os偶x 次幂(co降s x幂齐13 c次os幂3 x拆) 开C
放在微分号d 后面。
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例8
求
1 1 e xdx.
解
1
1 e
x
dx
(1
1 e x
)e
x
dx
1
ex ex
dx
ex
1
d(x)
dex
1 ex
1 ex
1
d (1 e x )
1 ex
ln(1 e x ) C .
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例9 求 tan5 x sec3 xdx
解 tan5 x sec3 xdx
tan4 x sec2 x secx tan xdx
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
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例12 求 cos 3x cos 2xdx.
解 利用三角学中的积化和差公式，得
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(3 2x) C. 2
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7
例3 求
x(1
1 5
ln
dx. x)
解
1 dx x(1 5ln x)
1
1 5ln
d(l x
n
x)
1 5
1
1 5l
n
d (1 x
5
ln
x)
u
1
1 lnu
2 ln
C
x
1l
1 5
1 u
du
n(1 5ln
x)
1
1 u2
du
1 2
1
1
u
1
1
u
du
1 ln 1 u C 1 ln 1 cos x C.
2 1u
2 1 cos x
ln(cscx cot x) C.
类似地可推出 secxdx ln(secx tan x) C.
剩下的因子2x恰好是u x2的导数，于是有
2xe x2 dx e x2 d( x2 )
eudu eu c
ex2 c
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例2 求
3
1 2
dx. x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 dx 2x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
u 3 2x
f [( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x)
于是可得下述定理
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4
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法）
注意 使用此公式的关键在于将
(sec2 x 1)2 sec2 xd secx
(sec6 x 2sec4 x sec2 x)d secx
1 sec7 x 2 sec5 x 1 sec3 x C
7
5
3
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例10
求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1 cos x 1 cos2 x
dx
1 cos x sin2 x
dx
1
1
sin2 x dx sin2 x d(sin x)
cot x 1 C. sin x
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例11 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
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例5 求
a2
1
x 2 dx .
解
a2
1
x 2 dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
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例6 求 cos2 xdx
解
cos2 xdx
1 cos 2x dx 2
1 ( dx 1 cox2xd(2x)) x sin2x C
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x) F ( ( x)) C
即将 f [( x)]( x)dx拼凑成(( x))d( x)
第一类换元法又称为凑微分法。
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例1 求
2xe x2 dx
解 被积函数中的一个因子为e x2 eu , u x2 ,