初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略）3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：.这D ,d （2）解：按照自然数序数理论乘法定义87)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：︒1当2=n 时，命题成立.（反证法）()1,111101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(221212122221212122111112111212222121+-≥++++∴≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=︒+++++++++++k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a ka a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n ka a a a a a k i a k k n 由归纳假设，得，且得，，且时，由当。

，且成立，即时假设ΛΛΛΛΛΛΛΛ1+k 2且互不相同.故新增k 个交点，所以()()()()[]111211-++=+=+k k k k f k f .综合︒1、︒2，命题对于不小于2的所有自然数成立. 9举例：正整数集N 上定义的整除关系“|”满足半序关系.证明：（1）（自反性）任意的正整数x ，总有x x |； （2）（反对称性）如果x y y x |,|，那么y x =；（3）（传递性）如果z y y x |,|，那么z x |. 通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.10证明：设N M ⊆，且 ①M ∈1②若M a ∈，则M a ∈'.若N M ≠.令A 是所有不属于M 的自然数组成的集合，则A 是N 的非空子集，按照最小数12证明：（1）根据自然数除法定义有c dcd b a b a =⋅⋅=,，两式相乘，得ba bc d c ad ⋅=⋅，所以有：若bc ad =，则d cb a =；若d cb a =，则bc ad =（2）bc ad d cd b b a b d d c b a bd +=⋅+⋅=+()()(，根据除法定义，（2）成立.（3）ac d cd b a b d c b a bd =⋅⋅=⋅)()(，根据除法定义，（3）成立.13证明：'''''''')()(n m m n m n n m +=+=+=+.14证明：设N b a ∈∀,，下，下面证明b a b a b a <>=,,三种关系有且仅有一个成立.（1）先证明三个关系中至多有一个成立.假若它们中至少有两个成立，若令b a b a >=,同时成立，则存在*N k ∈，使得：k a k b a +=+=于是a a >，与a a =矛盾.同理可证，任意两种关系均不能同时成立. （2）再证明三中关系中至少有一个成立.取定a ，设M 是使三个关系中至少有一个成立的所有b 的集合，当1=b 时，'b '成即bc ad c a +-|17证明：因为)1)(1(121++++-=---p p p p p p p p Λ，而有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而121++++--p p p p p Λ是奇数， 于是Z s s p p p ∈+-=-),12)(1(1，同理有Z t t q q q ∈++=+),12)(1(1，两式相加：)1)(()1)(1(2+++=++-=+t s q p t s p q p q p ，所以)(|q p q p q p ++.18解：因为3153=+q p ，所以p 3和q 5必为一奇一偶. 若p 3为偶数，可验证质数5,2==q p ，则13log 2+q p 1532log 2+⨯=81log 2=3-= 若q 5为偶数，可验证质数2,7==q p ，则13log 2+q p 1237log 2+⨯=0= 所以0313log 2或-=+q p. 19证明：根据减法是加法的逆运算知，设b a ,是有理数，b a -是这样一个数，它与b 的和等于a ．即a b b a =+-)(．但是，我们有 ])[()]([b b a b b a +-+=+-+(加法结合律)a a =+=0因此，)(b a -+这个确定的有理数，它与b 的和等于a ， )(b a b a -+=-∴又如果差为x ，则有a b x =+，于是，两边同加)(b -有： )()(b a b b x -+=-++ )()]([b a b b x -+=-++ )(b a x -+=即差只能是)(b a -+，定理得证． 20证明：做差，0332>-=-+a b a b a ，03)(232<-=-+b a b b a . 所以有b ba a <+<32 21证明：首先证明y x ≤当且仅当y x y ≤≤-.事实上，若y x ≤，当0≥x 时，y x x ≤=且y x -≥，即y x y ≤≤-;当0<x 时，y x x ≤=-,有x y ≤-,且y x ≤<0,故y x y ≤≤-.反之，若y x y ≤≤-,当0≥x 时，y x x ≤=;当0<x 时，x x y =-≥.下面来证明：b a b a b a +≤+≤-.事实上，对于b a ,显然有： a a a ≤≤- b b b ≤≤-故有b a b a b a +≤+≤+-)(.,))3)(2(21(10Λ++++++=<n n n n b n 12)1(2))2(1211(1122+<++=+++++≤n n n n n n Λ 因为1>n ,故10<<n b ,即n b 不可能是整数,产生矛盾,所以e 是无理数.23证明：假设1,1),(,≠==q q p qpa n两边n 次方得n nqp a =，但是,1),(=q p 所以1,1),(≠=n n n q q p ，所以a 不是整数，这与已知条件矛盾， 所以n a 是无理数. 24证明：假设N q Z p qpb a ∈∈=,,log ，1，所以)(|)1(2x f x x ++28证明（反证法）：若π与3.8的和是有理数a ，即a =+8.3π，则π=-8.3a . 因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差8.3-a 仍是有理数，与π是无理数矛盾，所以π与3.8的和是无理数.29两个无理数的商可能是有理数.例如：2是无理数，易证22也是无理数，Z ∈=222230不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如022=-.31解：由于xyi y x y x y x xyi y x yi x z )(44)()2()(222222222244-+--=+-=+= 所以4z 是纯虚数的条件是04)(22222=--y x y x ，0)(422≠-xy y x 即0,)21(≠±±=y y x32证明：设1C 是C 的任一子域，R C ⊃1，且在1C 中方程12-=z 有解j z =.1x+()(0)ln(1)ln(10)1(),0.001f x f x f x x x ξξξ-+-+'===<<--+即ln(1).1x x ξ+=+ 又因11ln(1)1,11x x ξ+=<<++ 因此有ln(1).1xx x x<+<+ 2．若,,x y z 均为实数, 且22221(0),.2x y z a a x y z a ++=>++=求证:2220,0,0.333x a y a z a ≤≤≤≤≤≤ 证明 由22221()2x y a x y a ++--=有2221()()0.4x y a x y ay a +-+-+= 其判别式2221()4()04y a y ay a ∆=---+≥(因x R ∈). 从而, 2320y ay -≤即20.3y a ≤≤同理可证220,0.33x a z a ≤≤≤≤3．设,,a b c 表示一个三角形三边的长, 求证:证明 欲证11a b ab +<+成立, 只需2()11a b ab+<+, 即证22()(1)a b ab +<+.则只需22(1)()0,ab a b +-+> 也就是222210,a b a b +--> 即证22(1)(1)0.a b --> 而1,1,a b << 所以22(1)(1)0a b -->成立. 命题得证.6．若11(0),n i i i a a ==>∑ 求111((.nn i i i a n a n=+≥+∏证明 21122211111111...n a a a n a n a n a +=++++144424443项22(1)n n ≥+2222222222221111...(1)n n a a n a n a n a n a +=++++≥+14444244443项…… ……222221111...(1)n n n n n n n a a n a n a n a n a +=++++≥+144442444438．证明 若1(1,2,...,),i a i n ≥=则112122(...1)(1)(1)...(1).n n n a a a a a a -+≥+++证明 用数学归纳法证明如下: 当1n =时, 命题显然成立;假设命题对n 成立, 我们来证明它对1n +也成立, 注意到1(1,2,...,).i a i n ≥=1111111111(1)(1)2(1)2(1)n nn nn n in i i i n i i i i a aa a a a ++--++====+≤+⋅+=+++∏∏∏∏111112[1()]n nn i i n i i a a a +-+===+++∏∏1111111112[(1)(11)]n n n nn i i i i n i i i i a a a a a +++-+=====+++--++∏∏∏∏111111112(1)2(1)n n n nn i i i n i i i a a a a +++-+====+-+--∏∏∏1111112(1)2[(1)(1)]n nnn i i n n i i a a a a +-++===+----∏∏11112(1)2(1)[1)n nnn i n i i i a a a +-===+---∏∏12(1).n ni a +≤+2322216(22)3z xy ≤=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.再注意到2222()22,x y x y xy z xy +=+-=+ 因而222222,z xy x y z +=++ 这就是所要证的不等式.11．已知,a b 为小于1的正数, 求证:证明 设1234,(1),(1),(1)(1),z a bi z a bi z a b i z a b i =+=-+=+-=-+-则1z =, 2z =3z =4z =12341234z z z z z z z z +++≥+++22i =+=∴,r ,,a b a b -<- 0,><由于0,a b >> 此不等式显然成立.15．若2,p R p ∈<且不等式()2222log log 12log x p x x p ++>+恒成立, 求实数x 的取值范围.解 令2log ,x a =将不等式转化为: 2(1)210,a p a a -+-+>令2()(1)21,f p a p a a =-+-+ 则()0f p >恒成立, 等价于: ()0,(2)0.f p f >⎧⎨->⎩222(1)210,2(1)210.a a a a a a ⎧-+-+>⎪⇒⎨--+-+>⎪⎩ 解不等式组得: 13180.2a a x x ><-⇒><<或或 16．设e 是自然对数的底, π是圆周率, 求证.e e ππ>a x解 原不等式1log (1log .a a a x⇔-> （1）当1a >时，原不等式1110,111100.111.x x a a x x x a a x⎧->-⎪⎪-⇔⇔->⇔<⇔<<⎨-⎪->⎪⎩（2）当01a <<时，原不等式110,11.111.xx a a x⎧->⎪⎪⇔⇔<<⎨-⎪-<⎪⎩20．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元. 甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲所需工时分别为1时、2时，加工一件乙所需工时分别为2时、1时，A ，B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500. 如何安排生产可使收入最大？解 这个问题的数学模型是二元线性规划.先要画出可行域，如图。