练习册：第7章自测题 第五大
某元件的寿命X ~ N ( ,2.52 ),要求犯第I类错误
题
的概率 0.025, 并且当 20时或 18时犯第II类 错误的概率不超过 0.025，求所需样本的容量。
四、小结
两种检验法的OC函数如表 右边检验 左边检验 双边检验
( ) ( z )
假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 的OC 函数是
0 . / n 当真值 0 时 ( )为作出正确判断的概率 ;
( ) P (接受H 0 ) ( z ),
当真值 0 时 ( )给出犯第II类错误的概率.
2 2
均值差1 2 的检验问题
H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 ( 0 或 0 ) ,
当分别自两个总体取得的相互独立的样本容量 1 0 n1 n2 n时, 给定 , 及 的值后,

可以查附表7得到所需的样本容量.
例5 需比较两种汽车用的燃料的辛烷值, 得数据
燃料A 81 84 79 76 82 83 84 80 79 82 81 79 燃料B 76 74 78 79 80 79 82 76 81 79 82 78
燃料的辛烷值越高, 燃料质量越好. 因燃料 B 较燃 料 A 价格便宜, 因此,如果两者辛烷值相同时, 则使 用燃料 B. 但若含量的均值差 A B 5则使用燃 料 A. 设两总体的分布均可认为是正态的, 而两个 样本相互独立. 问应采用那种燃料? ( 0.01) 解 在显著水平 0.01 下检验假设 H 0 : A B 0, H1 : A B 0.
s A sB 取 5.835 作为 2 的点估计, ˆ 2 5 于是 2.07, 查表 ( 0.01, 2.07), ˆ
2
2
n 8,
附表6-4
现 n=12, 故已近似地满足要求.
右边检验的拒绝域为 x A xB t t0.01 ( n1 n2 2) 2.5083 . 1 1 sw nA nB 由样本观察值算得 t 2.19 2.0583,
并要求 A B 5 时,
犯第II类错误的概率不超过 0.01, 所取的样本容量 nA nB 12,
且 x A 80.83,
2
xB 78.67, s A 5.61, sB 6.06,
2 2
2
2
2 , 经水平为 0.1 的F 检验知: A B
n 30,
附表6-2
1 0
(68 0.75 ) 68

0.75,
查表 6 知 0.01 .
例4
考虑在显著水平 0.05 下进行 t 检验, H 0 : 14, H1 : 14 ,
14 要求在 H1 中 0.4时, 犯第类错误的概 率不超过 0.1, 求所需样本容量 .
X 0 t ( n 1) ( ) P (接受H 0 ) P S/ n
X 0 X S 0 . 其中 , / n S / n / n
X 0 我们称变量 服从非中心参数为 , 自由度 S/ n 为 n 1 的非中心 t 分布 .
1. 右边检验问题
假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0的OC 函数是
X 0 z ( ) P (接受H 0 ) P / n 0 X 0 P z . ( z ), / n / n / n 当真值 0 时 ( ) 为作出正确判断的概率 ;
就能使 0 时, 犯H0 : 0 , H1 : 0
犯第一类错误的概率不超过 ， 当 0 时, 犯第 II类错误的概率不超过给定的
只要 n
( z z )

,
2. 左边检验问题
故接受 H0 , 即采用 B 种燃料.
若 n2 n3 , 则取 n2 作为所求的容量 , 即n n2 .
否则再按上述方法重复进行.
一般, 只需试少数几次就可以得到所求的样本容 量 n.
5. 两个正态总体均值差的 t 检验问题
若两个正态总体N ( 1 , 1 ), N ( 2 , 2 )中
2 2
1 2 2 , ( 2未知)
由 , , 的值查附表6定出样本的容量 , 记为n2 . 若 n1 n2 , 则取 n1 作为所求的容量 , 即n n1 .
否则, 再抽 n2 n1 个独立观察值与原来抽 得的观 察值合并, 重新计算 的近似值. 然后用 的新近似值和 , 查附表6, 再次定出样 本容量, 记为 n3 .
使当真值 0 ( 0为取定的值) 时,
犯第 II类错误的概率不超过给定的 .
因为 ( ) 是 的递减函数,
故当 0 时, ( 0 ) ( ) , n 于是只要 ( 0 ) z , ( z z ) n 即n满足 z z , 只要 n ,
( n 1)
X 0 t / 2 ( n 1) S/ n
X 0 S/ n X S / n
三、 t 检验法的OC函数
1. 右边检验问题
假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0的 OC 函数是
当 0 时, 它是通常的t ( n 1) 变量.
若给定 , 以及 0, 则可从附表6查得所需容 0 时, 量 n, 使当 H1 且
犯第 II类错误的概率不超过给定的 .
2. 左边检验问题
假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 .
只要样本容量n 满足 n ( z z )
就能使 0 犯第 II类错误的概率不超过给定 的 .

例1 练习册：7.1-7.2 第六大题
设需要对某一正态总体 的均值进行假设检验 H 0 : 15, H1 : 15,已知 2 2.5,取 0.05，若要求当 H1中的 13时犯第II类错误的概率不超过 0.05， 求所需样本的容量。
t 检验
X 0 X 0 P t P t ( n 1) P t ( n 1) S/ n S/ n
X 0 S/ n X S / n X 0 S/ n X S / n
0 . / n 0 . / n
( ) ( z / 2 ) ( z / 2 ) 1
Z 检验
( ) ( z )


( )
/2
0 . / n
( )
( )
0 ( z / 2 ) ( z / 2 ) 1, . / n
此OC 函数的图形如下:
只要样本容量 n 满足 n
( z / 2 z )

,
就能使| 0 | 时,犯第 II类错误的概率不 超过给定的 .
例2
施行特征函数的定义:
若 C 是参数 的某检验问题的一个检 验法,
( ) P (接受H 0 )
称为检验法C 的施行特征函数或 OC 函数, 其图 形称为OC曲线.
施行特征函数的作用: 适当地选取样本的容量, 使得犯第 II类错误 的概率控制在预先给定的限度内.
二、 Z 检验法的OC 函数
当真值 0 时 ( )给出犯第II类错误的概率.
此OC 函数的图形如下:
此OC 函数的性质如下: 0 (1) 它是 的单调递减连续函数 ; / n ( 2) lim ( ) 1 , lim ( ) 0.
0
根据 OC 函数 ( ) 可以确定样本容量n,
0 时, 使当 H1 且
犯第 II类错误的概率不超过给定的 .
例3 考虑在显著水平 0.05 下进行 t 检验, H 0 : 68, H 1 : 68 , (1) 要求在 H 1 中 1 68 时, 犯第ΙΙ类错误的
概率不超过 0.05, 求所需样本容量 .
若给定 , 以及 0, 则可从附表 6 查得所需容量n, 0 时 , 使当 H1 且
犯第 II类错误的概率不超过给定的 .
3. 双边检验问题
假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 .
若给定 , 以及 0, 则可从附表 6 查得所需容量n,
解 0.05, 0.1, 0.4,
查表 6 知 n 68 .
附表6-3
4. 求样本容量的一种近似方法
若只给出 , 及 1 0 ,怎样确定所需样本容量?
先适当取一值n1 , 抽取容量为n1 的样本,
根据这一样本计算s 2 的值, 以 s 2 作为 2 的估计, 算出 的近似值.
第五节
样本容量的选取
一、特征函数的定义
二、Z 检验法的OC 函数
三、 t 检验法的OC 函数 四、小结
一、特征函数的定义
在某些实际问题中, 我们除了希望控制犯第I 类错误的概率外, 往往还希望控制犯第 II类错误 的概率. 以上在进行假设检验时, 总是根据问题的需 要, 预先给出显著性水平以控制犯第I类错误的概 率, 而犯第 II类错误的概率则依赖于样本容量的 选择. 在本节中, 我们将阐明如何选取样本的容量 使得犯第 II类错误的概率控制在预先给定的限 度内, 为此, 引入施行特征函数.