从可达性矩阵各元素是 1 还是 0 很容易进 行关系划分。
关系划分可以表示为：
14
2、区域划分 2 ( S )
区域划分将系统分成若干个相互独立的、 没有直接或间接影响的子系统。
可达集 先行集 底层单元集（初始集，其中元素具有此性质： 不能存在一个单元只指向它而不被它所指向。）
15
对属于初始集B的任意两个元素 t、t′，如果可能指 向相同元素 这种划分对经济区划分、行政区、 R( t )∩R( t′)≠φ 功能和职能范围等划分工作很有 意义。 则元素 t 和 t′属于同一区域； 反之，如果 t、t′不可能指向相同元素 R( t )∩R( t′)=φ 则元素 t 和 t′属于不同区域。 这样可以以底层单元为标准进行区域的划分。 经过上述运算后，系统单元集系统就划分成若干区 域， 可以写成 π2(S)={P1,P2,…,Pm}， 其中m为区域数。
34
7
6
5
4 3
1
2
图4-2
35
1 1 2
2
3
4
5
6
7
1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 0
0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
3
M= 4 5 6 7
36
1.区域划分
为对给出的与图4-5所对应的可达矩阵进行区域划分，可列出任一要 素Si(简记作i，i=1，2，…，7)的可达集R(Si) 、先行集A(Si) 、共同 集C (Si)，并据此写出系统要素集合的起始集B(S)，如表4-1所示：
18
R(e3 ) ? A(e3 )
子系统I
子系统II
子系统I
子系统II
π2(S)={P1,P2}={{e3,e4,e5,e6},{e1,e2,e7}}
19
3 ( P) 3. 级别划分 级别划分在每一区域内进行。ei 为最上级单元的条 件为R(ei)=R(ei)∩A(ei) 得出最上级各单元后，把它们暂时去掉，再用同样方 法便可求得次一级诸单元，这样继续下去，便可一级 一级地把各单元划分出来。 系统S中的一个区域(独立子系统) P 的级别划分 可用下式表示 π3(P)={L1,L2,…,Ll} 其中L1,L2,…,Ll表示从上到下的各级。
24
4、是否强连接单元的划分 4 ( L) 在级别划分的某一级 Lk 内进行。如果某单元不属 于同级的任何强连接部分，则它的可达集就是它本身， 即 这样的单元称为孤立单元，否则称为强连接单元。 于是，我们把各级上的单元分成两类，一类是孤立 单元类，称为I1类；另一类是强连接单元类，称为I2类， 即 π4(L)={I1，I2}
32
四、建立递阶结构模型的规范方法
建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构 模型，可在可达矩阵M的基础上进行，一般要 经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取和多 级递阶有向图绘制等四个阶段。这是建立递阶 结构模型的基本方法。 现以例所示问题为例说明： 与图对应的可达矩阵(其中将Si简记为i)为：
6
一、几个相关的重要数学概念 1、关系图 假设系统所涉及到的关系都是二元关 系。则系统的单元可用节点表示，单元之 间的关系可以用带有箭头的边（箭线）来 表示，从而构成一个有向连接图。这种图 统称关系图。关系图中，称具有对称性关 系的单元 ei 和ej 具有强连接性。
7
一、几个相关的数学概念
例：一个孩子的学习问题 1.成绩不好 2.老师常批评 4.平时作业不认真 5.学习环境差 7.父母常打牌 8.父母不管 10.给很多钱 11.缺乏自信
5
1
2
4,6
7
3
30
3、骨架阵 从浓缩阵找骨架阵的方法 在判断过程中，对M′中的“1”元素逐 个检查，如果
则 是诱导元素，将它从M′中“划掉”， 否则 是基本元素，保留在M′中。程序执 行完毕打印的M′就是骨架阵N。
31

由于给定可达性矩阵M后，对应的浓 缩阵M′是唯一的(不计节点的重新排列)，M′ 的骨架阵，也叫作M的骨架阵，也是唯一 的。骨架阵不仅保留了浓缩阵的全部信息， 而且对应的层次结构图更加清楚。
0 1 0 0
1 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0
1 1 0 1
1 1 0 1 1 1 0 1
0 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
13
二、可达性矩阵的划分
1、关系划分
关系划分将系统各单元按照相互间的关系分 成两大类 R与 R ，R类包括所有可达关系，R 类 包括所有不可达关系。有序对( ei , ej )，如果 ei到 e j 是可达的，则( ei , ej )属于R 类，否则( ei , ej ) 属于 R 类。
1 2 11 3 4 5 6
3.上课不认真 6.太贪玩 9.朋友不好
7
8
9
10
8
例：温带草原食物链
12 11 9 10 8
7 2 3 4 6
5 1

1.草 2.兔 3.鼠 4.吃草的鸟 5.吃草的昆虫 6.捕食性昆虫 7.蜘蛛 8.蟾蜍 9.吃虫的鸟 10.蛇 11.狐狸 12.鹰和猫头鹰
解释结构模型ISM及其应用
Interpretive Structural Modeling (ISM)
1
从概念模型到结构模型——系统概念开发 解决复杂系统问题，困难在于弄清楚要解决什 么问题，什么是表面问题，什么是潜在问题，什 么是原因层的问题，什么是根子层的问题。这就 是问题诊断和系统概念开发。 如何能使用自然语言或图形等较直观的方式 来描述和阐明问题，这就是根据问题导向，建立 概念模型。系统结构模型是一种较正规的概念模 型。这类模型对于理清思路、明确问题，与利益 相关者进行沟通，都极为有用。这种结构化的概 念模型就是系统结构模型。
4
5
Interpretive Structure Model 解析结构模型属于静态的定性模型。 它的基本理论是图论的重构理论，通过一些基本 假设和图、矩阵的有关运算，可以得到可达性矩 阵；然后再通过人-机结合，分解可达性矩阵， 使复杂的系统分解成多级递阶结构形式。 在总体设计、区域规划、技术评估和系统诊断方 面应用广泛。 要研究一个由大量单元组成的、各单元之间又存 在着相互关系的系统，就必须了解系统的结构， 一个有效的方法就是建立系统的结构模型，而结 构模型技术已发展到100余种。
2
结构模型：
系统有很多要素构成，建立要素之间的相互关系，即系 统的结构模型，是系统分析的重要方法。
3
凡系统必有结构，系统结构决定系统功能； 破坏结构，就会完全破坏系统的总体功能。这说 明了系统结构的普遍性与重要性。 结构模型描述系统结构形态，即系统各部分间 及其与环境间的关系（因果、顺序、联系、隶属、 优劣对比等）。结构模型是从概念模型过渡到定 量分析的中介，即使对那些难以量化的系统来说 也可以建立结构模型，故在系统分析中应用很广 泛。
ei 可达且“长度”
12
性质： 一般对于任意正整数r(≤n)，若ei到ej是可达的且“长度” 为r，则Ar中第 i 行第 j 列上的元素等于1。 对有回路系统来说，当 k 增大时，Ak 形成一定的周期性 重复。 对无回路系统来说，到某个 k 值，Ak=0。
1
3
4
2
1 0 2 A 1 0
26
例：上例中可达性矩阵的浓缩阵
27
浓缩阵的标准形式
其中m’ij=1或0 (i＞j)
28
2、从属阵 矩阵M′- I 叫做系统从属矩阵，记为M″，从中可以分析从 上到下各级别之间的关系，找出结构矩阵，并绘制系统多级 层次结构图。 例：上例所给浓缩阵的从属阵及得到的结构矩阵。
29
根据结构矩阵绘制系统多级层次结构图
33
例4-1 某系统由七个要素(S1，S2，…，S7)组成。经过 两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响 S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样，该系 统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb 来表达，其中： S = {S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7} Rb = {(S2，S1)，(S3，S4)，(S4，S5)， (S7，S2)，(S4，S6)，(S6，S4)}
16
例：对一个7单元系统的区域划分
7
5 4
6
2 1
3
1 1轾 1 犏 2犏 1 犏 3犏 0 犏 M = 4犏 0 犏 5犏 0 犏 6犏 0 犏 7犏 1 臌
2 0 1 0 0 0 0 1
3 0 0 1 0 0 0 0
4 0 0 1 1 0 1 0
5 0 0 1 1 1 1 0
6 0 0 1 1 0 1 0
9
2、邻接矩阵
用来表示关系图中各单元之间的直接连接状态的矩 阵A。设系统S共有n个单元S={e1,e2,…,en} 则 e1 e2 en
e1 轾11 a 犏 e2 犏21 a 犏 A= 犏 犏 en 犏n1 a 臌 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
20
级别划分的步骤 令L0 =φ，j=1； (1) Lj = {ei∈P-L0-L1-…-Lj-1｜Rj-1(ei)∩Aj-1(ei) = Rj-1(ei)} 其中 Rj-1(ei) = {ei∈P-L0-L1-…-Lj-1 ｜mij = 1} Aj-1(ei) = {ei∈P-L0-L1-…-Lj-1 ｜mji = 1} (2) 当｛P-L0-L1-…-Lj } = φ时，划分完毕；否则j = j+1， 返回步骤(1)。 注：如果条件R(ei) = R(ei)∩A(ei) 换成条件 A(ei) = R(ei)∩A(ei) 则上述级别划分可类似进行，但每次分出的是底层单元。