a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数＝N·1 ＝晶体链的自由度数
四、格波的简谐性、声子概念
晶体链的动能：
T
1 2
n
m&n2
晶体链的势能：
U
1
2
n
n n1 2
系统的总机械能：
H
1 2
n
m&n2
1 2
n
n n1 2
频率为j的特解：nj Ajeijtnaqj
方程的一般解： n Ajeijtnaqj
原胞的质心基本保持不动 。
当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反。
n n
q0
m M
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此称这种振动为光学波或光学支或光频支。
对于单声子过程（一级近
(q) =c0q
似），电磁波只与波数相同的格 +(0) 波相互作用。如果它们具有相同
B
2
cos
1 2
aq
ei
1 2
aq
2 M2
M
2m
cos
1 2
aq
ei
1 2
aq
m M 2 m2 2Mmcosaq
R ei
R：大于零的实数，反映原胞中P、Q两原子的振幅比 ：原胞内P、Q两原子的振动位相差
1. 光学波（optical branch）
n n
M
m
2m cos
1 2
aq
动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则
晶格振动状态不同。
若 q q 2 l (ℓ＝整数) 则 q 与 q描述同一晶格
振动状态 a
例：
1 4a
2
4 5
a
q1
2 1
2a
q2
2 2
5
2a
q2
q1
2
a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3.1 一维单原子链的振动
一、运动方程及其解
n-2 n-1
n
n+1 n+2
aa
n-2
n-1
n
n+1
n+2
：力常数
只考虑最近邻原子间的相互作用：
fn n n1 n n1 n1 n1 2n
第n个原子的运动方程：
m&&n n1 n1 2n
j
1
Q q,t einaq
Nm q
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
1
N
einaqq q,q
n
H
1 2
Q&* q
q, t Q& q, t
2
qQ*
q,tQ q,t
Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某 个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运 动的坐标，称为简正坐标。
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
2 2
L＝Na ——晶体链的长度
简约区中波数q的取值总数 q 2 Na 2
+
的频率，就会发生共振。
q 0
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
2. 声学波（acoustic branch）
ei
1 2
aq
M 2 m2 2Mmcosaq
M
2m cos m M2
1 2
aq
m2
ei
1 2
aq
2Mmcosaq
R ei
Q q
a
a
cos
1 2
aq
0
1 aq
2
2
3
2
＋在Ⅱ、Ⅲ象限之间，属于反位相型
物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，
即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而
m2
(q)
—— 色散关系
q —— 简约区
a
a
q
- - 2 0 2
aa
aa
连续介质弹性波： Aeitxq
格波： Aeitnaq
➢ 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 ➢ 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相 q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单
位距离两点间的振动位相差。 格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
简约区： q
a
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中
找到唯一一个q，使之满足：
q q
2
a
l
Gl
Gl 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象
第n个原ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中P、Q两种原子的位移之比
n n
A
ei
1 2
aq
{ Bei
t
n
1 2
aq
n
(设M > m)
{ 代入方程:
2
M
2
A
2
cos
1 2
aq
B
0
2
cos
1 2
aq
A
2
m
2
B
0
2 M2
久期方程：
2
cos
1 2
aq
0
2 cos
1 2
aq
2 m 2
2
Mm
M
m
M
2
m2
2Mmcosaq
＝
M Mm
m
1
1
4Mm
M m2
sin2
1 2
aq
运动方程： Q&&j q,t j2 qQj q,t 0
晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。
能量本征值： 声子的概念：
Ej
n
j
1 2
h
j
nj 0,1, 2,L
声子是晶格振动的能量量子 h j
一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原 子组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子, nj：声子数
试解 n Aeitnaq —— 格波方程
m2 Aeitnaq Aeitnaqiaq Aeitnaqiaq 2Aeitnaq
m2 eiaq eiaq 2 2 cosaq 1
解得
2 sin 1 aq —— 色散关系
m2
二、格波的简约性质、简约区
2 sin 1 aq
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 hj 为
单元交换能量 r
声子具有能量 h j ，也具有准动量 hq ，但声子只是反映
晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而
单独存在，它并不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子
声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒
由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：
E
N j=1
n
j
1 2
h
j
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
a Mm
{
n-1 n n n+1
只考虑近邻原子间的弹性相互作用
{ 运动方程： M &&n n n1 2n
m&&n n n1 2n
试解：
it naq
Ae n