极坐标及高考练习题
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极坐标及高考练习题
极坐标
1．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为 ( )
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆答案 C
2．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π
6
)作曲线C 的切线，则切线长为
( ) A ．4
C ．2 2
D ．23答案 C
解析 ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点(4，
π
6
)化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理，切线长为232－22＝2 2.
3．极坐标方程
5
2
sin 42
=θ
ρ化为直角坐标方程是
425
52+
=x y
4．与曲线01cos =+θρ关于4π
θ=
对称的曲线的极坐标方程是
______01sin =+θρ____。
5．ABC ∆的底边,21,10B A BC ∠=
∠=以B 点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的
轨迹方程。
解:设()θρ,M 是曲线上任意一点,在ABC ∆中由正弦定理得:
2sin
10)
23
sin(θ
θπρ
=
-
得A 的轨迹是:
2sin 40302
θ
ρ-=
6．在极坐标系中，点P (2，－π6)到直线l ：ρsin(θ－π
6
)＝1的距离是________．答案
3＋1
解析依题意知，点P(3，－1)，直线l为x－3y＋2＝0，则点P到直线l的距离为3＋1.
7．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，π
3
)，(4，
π
6
)，则△
AOB(其中O为极点)的面积为________．
答案3解析由题意得S△AOB＝1
2
×3×4×sin(
π
3
－
π
6
)＝
1
2
×3×4×sin
π
6
＝3.
8．从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，试求RP的最小值．
答案(1)ρ＝3cosθ(2)1
解析(1)设动点P的坐标为(ρ，θ)，M的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ即为所求的轨迹方程．
(2)由(1)知P的轨迹是以(3
2
，0)为圆心，半径为
3
2
的圆，易得RP的最小值为
1.
9．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－π4
)
＝
2
2
.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的极坐标．
解析(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直
角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0.
直线l：ρsin(θ－π
4
)＝
2
2
，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐
标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.
(2)由⎩⎨
⎧
x 2＋y 2
－x －y ＝0， x －y ＋1＝0，
得⎩⎨
⎧
x ＝0， y ＝1.
故直线l 与圆O 公共点的极坐标为
(1，π
2
)．
三、综合练习
1、在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为，⎩⎨⎧==φφ
sin cos y x （φ为参数），曲线C 2的参
数方程为⎩⎨⎧==φφ
sin cos b y a x （a>b>0, φ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐
标系中，射线l ：αθ=与C 1，C 2各有一个交点，当0=α时，这两个交点间的距离为2，当2
π
α=时，这两个交点重合。
（1）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的
值。
（2）设当4
π
α=
时，l 与C 1，C 2的交点为A1，B1，当4
-
π
α=时，l 与C 1，C 2的交点为
A 2，
B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积。
2、在直角坐标系xoy 中，圆C 1：422=+y x ，圆C 2：4)2(22=+-y x
（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标（用极坐标表示） （2）求圆C 1与圆C 2的公共弦的参数方程
3、在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为θρsin 4=，22)4
cos(=-π
θρ
（1）求C 1与C 2交点的极坐标；
（2）设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为
)(1233
R t t b y a t x ∈⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=，t 为参数，求a ，b 的值 4、将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.。