第一章 热力学的基本规律１。

1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κ。

解： 理想气体的物态方程为RT pV =，由此可算得： PP V V k T T P P T T V V T V P 1)(1;1)(1,1)(1=∂∂-==∂∂==∂∂=βα1.2 证明任何一种具有两个独立参量Ｔ,P 的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ,根据下述积分求得： ⎰-=)(ln kdP adT V ，如果Pk T a 1,1==,试求物态方程。

证明：dp p VdT T V p T dV T P )()(),(∂∂+∂∂= 两边除以V ，得dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1积分后得 ⎰-=)(ln kdP adT V 如果,1,1p T ==κα代入上式，得C P T PdP T dT V ln ln ln )(ln +-=-=⎰所以物态方程为：CT PV =与1ｍｏl 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程.1.３在0０C 和1atm 下,测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.１85×10—5Ｋ—1，ｋ=7．8×１0—７ａｔｍ－1.ａ和ｋ可以近似看作常数。

今使铜加热至１00C ，问(1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变?（2）若压力增加1０0at ｍ，铜块的体积改变多少?解:（ａ)由上题dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1体积不变,即0=dV所以dT kadP = 即atm T k a P 62210108.71085.475=⨯⨯⨯=∆=∆-- (b ）475121211211007.4100108.7101085.4)()(---⨯=⨯⨯-⨯⨯=---=-=∆p p T T V V V V V κα可见，体积增加万分之4.07。

1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力F ，物态方程是 f （F ，Ｌ,Ｔ)=０.实验通常在1p n 下进行，其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为F T L L a )(1∂∂=，等温杨氏模量定义为 T LFA L Y )(∂∂=, 其中A 是金属丝的截面积.一般来说,α和Y 是T 的函数,对F 仅有微弱的依赖关系。

如果温度变化范围不大，可以看作常量.假设金属丝两端固定。

试证明，当温度由T １降至Ｔ２时，其张力的增加为21()F YA T T α∆=--证明:（a ）设(,)F F T L =，则L TF F dF dT dLT L ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（1)由于1L F TF T L T L F ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以L T F F F L T L T ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2)将（２）式代入（1）式，并利用线胀系数α和等温杨氏模量的定义式，得TF TF L F AY dF dT dL AYdT dL L T L L α∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）（b ）当金属丝两端固定时,dL ＝0，由(３)式得dF aAYdT =-当温度由T 1降至T 2时，积分上式得21()F YA T T α∆=--(4）1。

5 一理想弹性物质的物态方程为2020()L L F bT L L =-，其中L 是长度，L 0是张力Ｆ为零时的L 值，它只是温度T 的函数，b 是常数。

试证明：（ａ） 等温杨氏模量为)2(2200L L L L A bT Y +=A bT Y 30=.(b ） 在张力为零时， 线膨胀系数2/1/13033030+--=L L L L T αα 其中.10dL dL T =α (c) 上述物态方程适用于橡皮带，设，1 2 10 33 . 1 , 300 - - . ⨯ = = K N b K T.105,10114026---⨯=⨯=K m A α试计算当0L L分别为０。

５，1.0,1。

5和2．0时的F ，Y ，α对0L L的曲线。

证明：(a ）由弹性物质得物态方程,可得203021T L F bT L L L ⎛⎫∂⎛⎫=+⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ （1）将上式代入等温杨氏模量的定义式22003200221T L L L F L bT L Y bT A L A L L A L L ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫==+=+⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 当F=0时,L=L 0,由（2)式得()0312bT bTY A A=+=(３）（b ）在F 不变下，将物态方程对Ｔ求导，得22000002022400220F F F F L L L L L L L L L L L L T T T T T L L L L ⎡∂∂⎤∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦由上式解出F L T ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭,可得 222300022230000023203220002111111(4)222F F L L L L L L L L L T L L T L L L L L L L L L L T T T L L L L LL L ααα⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫+----⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-=- ⎪∂⎛⎫⎝⎭+++ ⎪⎝⎭其中0001dL L dT α=１．６ １mol 理想气体,在２7o C 的恒温下体积发生膨胀,其压强由２0p ｎ准静态地降到1ｐn ，求气体所作的功和所吸收取的热量。

解:(a) 在恒温准静态膨胀过程中，理想气体所作的功为⎰⎰==='2121,ln 12V V V V V V RT V dVRT pdV W因为 ,,2211RT V p RT V p == 故有 ,2112p pV V =.1046.720ln 30031.8ln1321-⋅⨯=⨯=='∴mol J p p RT W（b ） 理想气体在恒温膨胀过程中,内能不变，根据热力学第一定律，求得.1046.713-⋅⨯='=mol J W Q1。

7 在25o C 下,压强在0至1000p n 之间，测得水的体积为13263)10046.010715.0066.18(---⋅⨯+⨯-=mol cm p p V如果保持温度不变，将1ｍo ｌ的水从１ｐn 加压至1000ｐｎ ，求外界所作的功.解：写出,2cp bp a V +++ 则 ｄV ＝ (b+2cp ）d ｐ =dp p )10046.0210715.0(63--⨯⨯+⨯-所要求的功2110002310001133263331312(2)()2312(0.715)10(10)0.04610(10)23326.83/33.1(10.101324)V V n n W pdV p b cp dp bp cp p cm mol J mol p cm J ⋅---=-=-+=-+⎡⎤=⨯-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅⋅=⎰⎰1．8 承前1．5题，使弹性体在准静态等温过程中长度由L 0压缩为,20L 试计算外界所作的功.解:外界对弹性体作的元功表达式为dW FdL = （1）将物态方程代入上式，得2020L L dW bT dLL L ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2)注意到在等温过程中L 0不变,当弹性体在等温过程中长度由L 0压缩为Ｌ0/２时,外界所作的功为00/2202058L L L L W bT dL bTL L L ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰(3)1.9 在0oC 和１p ｎ下,空气的密度为１.291-⋅m kg 。

空气的定压比热容.41.1,96611=⋅⋅=--γK kg J c p 今有27m 3的空气，试计算：(i)若维持体积不变，将空气由０o C 加热至20o Ｃ所需的热量. (i ｉ)若维持压强不变，将空气由0o C 加热至20o C 所需的热量. (iii ）若容器有裂缝，外界压强为1p n ,使空气由0o C 缓慢地加热至20ｏC 所需的热量。

解：1cal=４.2J 所以 1111238.0966----⋅⋅=⋅⋅=K g cal K kg J c p(ｉ)这是定容加热过程，定容热容量可以从定压热容量算出，.deg /169.041.1/238.0⋅===g cal C C pV γ27m 3的空气,其质量可由它的密度算得：g M 461048.3102700129.0⨯=⨯⨯=考虑到热容量为常数,使温度由0ｏC 升至２0o C 所需得热量20169.01048.3)(41221⨯⨯=-==⎰T T MC dT MC Q V T T V V即得J cal Q V 5510920.410176.1⨯=⨯= （ii ） 在定压加热过程中,).(937.6)(10658.120238.01048.3)(5412J cal T T MC Q p p =⨯=⨯⨯⨯=-=(iii ） 因为加热过程使缓慢得,所以假定容器内的压力保持1pｎ。

本问题，空气的质量是改变的。

在保持压力p 和容积V 不变的条件下加热时,在温度T 下的质量M （Ｔ）可由物态方程)(为空气的平均分子量其中μμRT MpV =确定之。

设T 1时,容器内的空气质量之为M 1,则由11)(RT T M pV μ=算得T T M T M 11)(=， 所以 2211211111()ln (1)T T P p p T T T dTQ M T C dT M T C M T C T T ===⎰⎰将T 1=273K ， T 2=2９３Ｋ, Ｍ１C ｐ=K cal /1029.83⨯代入(1）式,即得J cal Q 55310678.61060.1273293ln2731029.8⨯=⨯=⨯⨯=1.10 抽成真空的小匣带有活门,打开活门让气体冲入.当压强达到外界压强0p 时将活门关上。

试证明:小匣内的空气在没有与外界交换热量之前,它的内能U 与原来在大气中的内能Ｕ0之差为000V p U U =-，其中V 0是它原来在大气中的体积.若气体是理想气体,求它的温度与体积.解: (a ） 求解这个问题，首先要明确我们所讨论的热力学系统是什么。

为此,可以设想:使一个装有不漏空气的无摩擦活塞之绝热小气缸与绝热小匣相连。

假定气缸所容空气的量，恰好为活门打开时进入该小匣内的那一部分空气的量.这样，原来在小气缸中,后来处于小匣内的那一部分空气(为了方便,设恰为１ｍol 空气），就是我们所讨论的热力学系统。

系统的初态(0000;,,U p T V ）和终态);,,(U p T V 如图所示：当打开活门，有少量空气进入原来抽为真空的小匣,小气缸内的气压就降为比大气压小一点，外界空气就迫使活塞向匣内推进。