手拉手模型一、手拉手模型1.手的判别：人站在等腰三角形顶角的位置，张开双臂，左手边的腰为左手，右手边的腰为右手。

2.手拉手模型的定义：两个等顶角的等腰三角形组成的图形，且顶角的顶点为公共顶点。

（顶角相等、等腰三角形、共顶点）条件模型结论特殊结论△ABC与△CDE是等腰三角形，且∠ACB=∠DCE (1)D ACD@D BCE (SSS)(2)AD=BE(左手拉左手，右手拉右手)(3)ÐBHA=ÐBCA(4)HC平分ÐAHE△ABC与△CDE是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°(5)S D BCD=S D ACE(6)BD2+AE2=AB2+DE2正方形ACBP与正方形CEQD是正方形△ABC 与△CDE是等边三角形(5)D ACM@D BCND DCM@D ECN(6) CM=CN(7)D CMN是等边三角形(8)MN∥AE，CD∥AB, CB∥DE(9) BH+CH=AHDH+CH=EH二、手拉手模型的变形：（两三角形相似，且对应角共顶点）条件模型结论D BAC∽D DAE,且ÐDAE=ÐBAC (1)D BAD∽D CAE(两边对应成比例且夹角相等) (2)BDCE=BACA(3) ÐBHC=ÐBAC【巩固练习】1、如图所示，若△ABC、△ADE都是正三角形，试比较线段BD与线段CE的大小.2、如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（）3、如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？4、问题情境：如图1，已知△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=2，CD=CE=1，点D在AC 边上，点E 在BC 延长线上。

将△DCE 从此位置开始绕C 点顺时针旋转，旋转角是a(0°﹤a ﹤180°)。

操作发现：（1）如图2，当旋转角a=45°时，连接AD 。

求证：四边形ACED 是平行四边形； （2）如图3，当0°﹤a ﹤90°，连接BD ，AE ，判断线段BD 和AE 的数量关系，并说明理由； 解决问题：（3）如图4，当0°﹤a ﹤180°，连接AD ，点F ，G ，H 分别是线段AB ，AD ，DE 中点，连接FG ，GH ，FH 。

在△CDE旋转的过程中，AE和BD的数量关系是 ，位置关系是 ，所以△FGH 始终是一个特殊三角形。

当旋转角a=135°时，△ FGH 的面积是 。

图1BBBBD5、如图1，将两个等腰直角三角形纸片ABC 和DEC 的顶点C 重合放置，点D 和E 分别在边AC 和BC上，其中∠C=90°，AC=BC，DC=EC．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转45°，点D恰好落在AB边上，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证：当△DEC绕点C继续旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，AC边上的高DM，EN，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究：已知∠ABC=60°，点D是∠ABC平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S △DCF=S△BDE，请直接写出相应的线段BF的长．6、如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点E为AB的中点，以AE为对角线作正方形ADEF，连接BD，连接CF并延长，交BD于点G，则线段CG的长等于。

7、如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE 相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：．8、看图完成下列各题。

【探索发现】如图1，已知D ABC是等腰直角三角形，，点D是BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF之间的数量关系为。

【类比探究】在（1）条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE 与AF之间的数量关系有无变化？请仅就图（2）的情形说明理由。

【联想拓展】①如图3，已知D ABC是等腰直角三角形，，点D是BC的中点，延长BC至点P，且以DP为一边作正方形DPMN，使点A在DN上，连接AP，BN，猜想AP与BN之间的数量关系；②如图4，将正方形DPMN绕点D逆时针旋转a(0°<a<360°)，判断①中的结论是否依然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。

【解决问题】在（3）②条件下，若BC=DP=4，当旋转角a为多少度时，AP取得最大值？直接写出AP取得最大值时a的度数及AM的长。

9、10、问题背景：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE．问题探究：（1）①如图1所示，当G在CD边上时，猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明）②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断．（2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图4所示），且AB:BC＝CE:CG=k（其中k ＞0），请直接写出线段BG、DE的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断．（3）在（1）中图2中，连接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE2+DG2的值．11、如图①，分别以AE、BE为边在AB的同侧作等边△ADE和等边△BCE，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N．（1）判断四边形PQMN的形状，并说明你的理由；（2）若AE=4，BE=2，求四边形PQMN的周长及面积；（3）如图②，将△BCE绕着点E顺时针旋转，其它条件不变，判断四边形PQMN的形状，并说明你的理由．12、(2018河南,22,10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①ACDB的值为;②∠AMB的度数为;(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断ACDB的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.13、（2018山西省适应性考试）（本题12分）综合与实践---四边形旋转中的数学“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答。

任务一：如图1，在矩形ABCD中,AB=6，AD=8.E、F分别为AB,AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG。

（1）请直接写出CG的长是。

（2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转(比如顺时针旋转)至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系.（3）当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立?请说明理由.任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在□ABCD中,∠B=60°，AB=6，AD=8，E、F分别为AB、AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系.（4）如图5，当□AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系，请你直接写出这个特定的数量关系。

【旋转得到手拉手模型】14、问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为直线AB上的一动点（点D不与点A，B重合）连接CD，以点C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接BE，试探索线段AB，BD，BE之间的数量关系．小组展示：“希望”小组展示如下：解：线段AB，BD，BE之间的数量关系是AB=BE+BD．证明：如图①∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，∵CE是由CD旋转得到，∴CE=CD，则在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（依据1），∴AD=BE（依据2），∵AB=AD+BD，∴AB=BE+BD反思与交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：依据2：（2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分类情况直接写出发现的结论：①如图②，当点D在线段AB的延长线上时，三条点段AB，BD，BE之间的数量关系_____．②如图③，当点D在线段BA的延长线上时，三条线段AB，BD，BE之间的数量关系是______．拓展应用：（3）如图④，当点D在线段BA的延长线上时，若CD=4，线段DE的中点为F，连接FB，求FB的长度．15、综合与探究问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：从A，B两题中任选一题作答我选择题A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．16、（本小题满分10分）(1)问题发现在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE.如图1，当α＝90°时，试猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝；(2)拓展探究如图2，当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由；(3)解决问题如图3，在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长．。