(ab) x = a (bx) = a ( xb) = (ax)b = ( xa)b = x(ab) ，从而 ab ∈ C ；
3）逆元：对 ∀a ∈ C ，有 ax = xa ⇒ xa −1 = a −1 x ，从而 a −1 ∈ C ； 4）结合律：显然； 5）交换律：显然。
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⇐ 对 ∀ a ∈ G ， 建 立 映 射 ϕ : G → G ， 对 ∀ x ∈ G 有 ϕ ( x) = a x ， 则 对
∀x1 , x2 ∈ G ，若 x1 ≠ x 2 ，则根据消去律知 a x1 ≠ a x 2 ，即 ϕ ( x1 ) ≠ ϕ ( x 2 ) ，故 ϕ 为 单射，从而 G = ϕ (G ) ，即 G = aG ，又由 G 的有限性及 aG ⊆ G ，则根据集合 论的知识有 aG = G ， 即对 ∀b ∈ G ， 方程 ax = b 在 G 中有解， 同理可得方程 ya = b
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即 b ∈ G2 ，与 b ∉ G2 矛盾。 综上 ab ∉ G ，矛盾，故假设不成立。 4. 定理 4 群 G 的非空子集 S 为 G 的子群的充分必要条件是： 1） ∀ a , b ∈ S , ab ∈ S 2） ∀ a ∈ S , a −1 ∈ S 证明： ⇒ 显然。 ⇐ 由已知只需证明 S 中有单位元即可。在 1）中令 b = a −1 则有： e ∈ S 。 5. 定理 5 群 G 的非空子集 S 是 G 的子群的充分必要条件是：
∀ a , b ∈ S ，总有 ab −1 ∈ S
证明：1） e ∈ S ：由已知令 b = a ，则有 e ∈ S ； 2）逆元：令 a = e 则由已知对 ∀ b ∈ S ， b −1 ∈ S ； 3 ）封闭性：对 ∀b ∈ S ，由 2 ） b −1 ∈ S ，则由已知对 ∀ a ∈ S ， 则有 a (b −1 ) −1 ∈ S ，即 ab ∈ S 。 6. 定理 6 群 G 的有限非空子集 F 是 G 的子群的充分必要条件是 FF ⊆ F ，即
1.4 同构、变换群
1.定理 1 群的 Cayley 同构定理：任何一个群同构于某个变换群 证明：设 (G,∗) 为群。 1）构造基于 G 的变换群 对 ∀a ∈ G ，定义 L(G ) = { f a f a : G → G, f a ( x) = a ∗ x, ∀x ∈ G}。 则由映射 f a 的定义知其为单射、满射，从而为一一映射： 单射：对 ∀x1 , x 2 ∈ G ，若 x1 ≠ x 2 ，则由消去律知 a ∗ x1 ≠ a ∗ x 2 ， 即 f a ( x1 ) ≠ f a ( x 2 ) 。 满射：对 ∀y ∈ G ，显然 a −1 ∗ y ∈ G ，则 f a (a −1 ∗ y ) = a ∗ (a −1 ∗ y ) = y 即存在 x = a −1 ∗ y ，使得 f a ( x) = y 。 2） L(G ) 关于映射的合成构成 "" 构成变换群 ( L(G ),) 结合律：映射的合成运算满足结合律。 封闭性：对 ∀f a , f b ∈ L(G ) ， f a f b ( x) = f a ( f b ( x)) = f a (b ∗ x) = a ∗ (b ∗ x) = (a ∗ b) ∗ x = f a∗b ( x) ∴ f a f b = f a∗b ，由 a ∗ b ∈ G 知 f a∗b ∈ G 。
α ∈I
3. 定理 3 任一群不能是其两个真子群的并. 证明：设 (G,) 为群， G1 , G2 为 G 的真子群。 假设 G = G1 G2 ， 由 G1 ⊂ G , G2 ⊂ G 知 ∃a ∉ G1 且 a ∈ G ，b ∉ G2 且 b ∈ G ， 而 G = G1 G2 ，故有 a ∈ G2 ， b ∈ G1 。 又 (G,) 为群，则有 ab ∈ G ，从而 ab ∈ G1 或 ab ∈ G2 。 1）若 ab ∈ G1 ， 则由 b ∈ G1 及 G1 子群知 b −1 ∈ G1 ， 从而 (ab)b −1 ∈ G1（封闭性） ， 即 a ∈ G1 ，与 a ∉ G1 矛盾。 2）若 ab ∈ G2 ， 则由 a ∈ G2 及 G2 子群知 a −1 ∈ G2 ， 从而 a −1 (ab) ∈ G1 （封闭性） ，
( )
−1
= a , (ab ) = b −1 a −1 。
−1
( )
−1
=a
2） (ab )(b −1 a −1 ) = a (bb −1 )a −1 = aea −1 = e (b −1 a −1 )(ab) = b −1 (a −1 a )b = b −1eb = e
∴ (ab ) = b −1 a −1
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离散数学之近世代数讲义附件 第 1章 群
1.1 代数系的基本概念
1. 定理 1 设 ( S ,) 是一个代数系。如果二元代数运算 "" 既有左单位元 al 又有右 单位元 a r ，则 al ＝ a r ，从而有单位元。 证明：由 al 为左单位元：则对 ∀a ∈ S ，有 al a = a ， （1-1）
ab1 = e1 = e = ab ，根据消去律得： b1 = b
2．定理 2 群 G 的任意多个子群的交还是 G 的子群. 证明：设 {Gα }α ∈I 为群 G 的任意多个子群构成的集族，令 H = Gα 。
α ∈I
Hale Waihona Puke 1） H 非空：由 Gα 为子群，则 e ∈ Gα ，从而 e ∈ Gα ，即 e ∈ H 。
同理由 a r 为右单位元：则对 ∀a ∈ S ，有 a a r = a ， （1-2） 在公式（1-1）中令 a = a r 得： al a r = a r 同理由公式（1-2）得： al a r = al 故有： al ＝ a r ，即有单位元。 2. 证明 ( Z n ,⊕) 为半群。 证明：只须证明 ⊕ 为 Z n 的二元代数运算 （结合律显然） 。 1）封闭性：由 [i ] ⊕ [ j ] = [i + j ] 知 [i + j ] ∈ Z n 2）证 ⊕ 为 Z n 上的二元映射：即证对 ∀[ p ], [q ] ∈ Z n ，若 [i ] = [ p ] ， [ j ] = [q ] 则有： [ p + q ] = [i + j ] 由 [i ] = [ p ] ⇒ n (i − p ) ， [ j ] = [q ] ⇒ n ( j − q ) （1-3） （1-4）
α ∈I
2） H 封闭性：对 ∀a, b ∈ H ，则 a, b ∈ Gα ，从而 a, b ∈ Gα ，又由 Gα 为
α ∈I
子群，则有 ab ∈ Gα ，故有 ab ∈ Gα ，即 ab ∈ H 。
α ∈I
3）逆元：对于 ∀a ∈ H ，则 a ∈ Gα ，又由 Gα 为子群，则 a −1 ∈ Gα ，从而 a −1 ∈ Gα ，即 a −1 ∈ H 。
−1
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5. 定理 4 设 (G , ) 为群，则对 ∀ a , b ∈ G ，方程： ax = b 关于未知量 x 与 y 均有唯一解 ya = b 证明：由 ax = b ⇒ a −1 (ax) = a −1b ⇒ ex = a −1b ，则有 x = a −1b 。 同理由 ya = b ⇒ y = ba −1 。 唯一性显然。 6. 定理 5 设 G 为非空集合， “ ”为 G 上的二元代数运算，则 (G , ) 为群的充要 条件为：1） “ ”满足结合律，即对 ∀ x , y , z ∈ G 有 (x y ) z = x ( y z ) 成立； ax = b 2）对 ∀ a , b ∈ G ，方程 在 G 中有解。 ya = b 证明： ⇒ 显然。 ⇐ 根据群的定义只须证明 G 有左单位元及 G 中任意元素有左逆元。 1）左单位元 el ：由于对 ∀ a , b ∈ G ， ya = b 有解，则 yb = b 有解记为 y 0 ， 即 y 0 b = b ，又对 ∀ a ∈ G ，方程 bx = a 有解记为 x0 ，即 bx0 = a 从而对 ∀ a ∈ G 有： 故 y 0 为左单位元 el 。 y 0 a = y 0 (bx0 ) = ( y 0 b) x0 = bx0 = a ， 2）左逆元：对 ∀ a , b ∈ G ， ya = b 有解，令 b = el 则有方程 ya = el 有解 y1 ， 即对 ∀ a ∈ G 均有左逆元。 7. 定理 7 设 G 为非空有限集合， “ ”为 G 上的二元代数运算，则 (G , ) 为群的 充要条件为： 1） “ ”满足结合律，即对 ∀ x , y , z ∈ G 有 (x y ) z = x ( y z ) 成立； 2） “ ”满足左右消去律。 证明： ⇒ 显然。
∴ n (i − p ) + ( j − q ) ,即∴ n (i + j ) − ( p + q )
∴[ p + q ] = [i + j ]
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1.2 群的定义
1.证明群的定义与“每个元素均有逆元素的幺半群称为群”的定义等价。 证明： ⇐ 若 ( S ,) 为幺半群且其中每个元素均可逆，则此时 ( S ,) 显然满足群的定 义中的 3 个条件，故 ( S ,) 为群的定义的群。 ⇒ 只须证明群的定义中的左单位元也为右单位元，同时群的定义中的左 逆元也为右逆元即可。为此先证明如下 3 个结论： 1）设 bl 为 a 的左逆元，即 bl a = el （ el 为左单位元） ，则有 a bl = el 。 2）对 ∀a ∈ G ，有 a el = a 。 3）若 bl 为 a 的左逆元（ bl a = e ） ，则必为 a 的右逆元，即 a bl = e 先证 1） ： abl = el (abl ) = (bl′bl )(abl ) （其中 bl′ 为 bl 的左逆元） = bl′ (bl a )bl ) = bl′ (el bl ) = bl′bl = el ∴ abl = el 再证 2） ： a el = a (bl a ) = (a bl ) a = el a = a ∴ el 为右单位元，从而为单位元 e 。 证 3） ：由 1） 、2）知 a bl = el = e 。 综上群的定义中的左单位元也为右单位元，左逆元也为右逆元。 2.定理 1 设 (G,) 为群，则对 ∀a ∈ G ， a 的左逆元也是 a 的右逆元。 证明：见 1 中的 1）的结论。 3. 定理 2 群 (G,) 的左单位元也是右单位元。 证明：见 1 中的 2）的结论。 4. 定理 3 设 (G , ) 为群，则对 ∀ a , b ∈ G ，有： a −1 证明：1） a −1 a = a a −1 = e ，∴ a −1