252 52 53 3立体几何中的最值问题（一）立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。
下面举例说明解决这类问题的常用方法。
一、运用变量的相对性求最值例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO⊥平面ABCD 于O，SO=2，底面边长为，点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，则P、Q 两点的最短距离为（）A. B. C. 2 D. 15 5解析：如图1，由于点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。
过O 作OQ⊥SC，在Rt△SOC 中，OQ = 中。
又P 在BD 上运动，且当5P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。
故选B。
5图 1二、定性分析法求最值例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。
AB⊥CD，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为。
解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。
过B 作BE//CD 交平面α于E，则BE=CD。
连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。
则在Rt△ABE 中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan ∠BAO=3·tan30°= 。
故CD ≥。
2 5图 2三、展成平面求最值例 3. 如图 3-1，四面体 A-BCD 的各面都是锐角三角形，且 AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。
平面α分别截棱 AB 、BC 、CD 、DA 于点 P 、Q 、R 、S ，则四边形 PQRS 的周长的最小值是（）A. 2aB. 2bC. 2cD. a+b+c图 3-1解析：如图 3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。
由于四面体各侧面均为锐角三角形，且 AB=CD ， AC=BD ，AD=BC ，所以，A 与 A’、D 与 D’在四面体中是同一点，且 AD// BC // A ' D ' ， AB // CD '，A 、C 、A’共线，D 、B 、D’共线， AA ' = DD ' = 2BD 。
又四边形 PQRS 在展开图中变为折线 S’PQRS ， S’与 S 在四面体中是同一点。
因而当 P 、Q 、R 在 S’S 上时， S ' P + PQ + QR + RS 最小，也就是四边形 PQRS 周长最小。
又 S ' A = SA '，所以最小值 L = SS ' = DD ' = 2BD = 2b 。
故选 B 。
图 3-2四、利用向量求最值例 4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-EFGH 中，P 是 AF 上的动点，则 GP+PB 的最小值为 。
2x 2 - 4x +3 (x - 1)2+ 0 - ⎝ ⎛ ⎪ 2 ⎭ 2 ⎫2 2 1 + 22 2 + 2 2 解析：以 A 为坐标原点，分别以 AB 、AD 、AE 所在直线为 x ，y ，z 轴，建立如图 4 所示的空间直角→坐标系， 则 B （ 1， 0， 0）， G （ 1， 1， 1）。
根据题意设 P （ x ， 0， x ）， 则 BP = (x - 1，0，x ) ， →GP = (x - 1，- 1，x - 1) ，那么图 4GP + PB = +⎛ ⎫⎪ = ⎪ ⎪ ⎝ ⎭式子 ⎛ 2 ⎫ + ⎛ 1 1 ⎫ 可以看成 x 轴正半轴上一点（x ，0， 0）到 xAy 平面上两点 1， ，0⎪ 、 ， ，0⎪ 的距离之和，其最小值为 。
所以 GP+PB 的最⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭小值为 ⋅ = 。
立体几何中的最值问题一、线段长度最短或截面周长最小问题例 1. 正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，各棱长均为 2，M 为 AA 1 中点，N 为 BC 的中点，则在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.2x 2 - 2x + 1⎛ 1 ⎫2 x - + 0 - ⎝ 2 ⎭ ⎪ ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭ ⎪(x -1)2+ 0 - ⎝⎛ ⎪ 2 ⎭ 2 ⎫2⎛ 1 ⎫2 x - + 0 - ⎝ 2 ⎭ ⎪ ⎛ 1 ⎫2⎝ 2 ⎭ ⎪ 1 + 2 2 +AM 2 + AN 2 10 AM 2 + AN 2- 2 A M ⋅ AN cos120︒ 12 + ( 3)2 + 2 ⨯1⨯ 3 ⨯ 124 + 34 + 310 4 + 3(1 - CP ) 2 + BQ 2 =解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝＝＝(2) 从底面到 N 点，沿棱柱的 AC 、BC 剪开、展开，如图 2.则 MN ＝＝＝∵＜∴ MN min ＝.例 2.如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直。
点 M 在 AC 上移动， 点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN= a (0 < a <2). （1）求 MN 的长；（2）当 a 为何值时，MN 的长最小； （3）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。
解析：（1）作 MP ∥AB 交 BC 于点 P ，NQ ∥AB 交 BE 于点 Q ，连接 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即 MNQP 是平行四边形。
∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴ AC = BF = CPa BQ , , 1 2 1a, 即2 CP = BQ = a , 2∴ MN = PQ == = (a -2) 2 + 1(0 < a < 2) 2 2（2）由（1）知:当a =时，MN = 2 ，即M , N 分别移动到AC , BF 的中点时2MN 的长最小，最小值为 2212 + (2 +1)22 22(1 - a ) 2 + ( a ) 2 2 2 =2(1 + cos )(x - a )2 + 1 (1 - cos )a 22 2 (3) 取 MN 的中点 G ，连接 AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ，∴∠AGB 即为二面角α的平面角。
又 AG = BG =定理有，所以由余弦 4CD G M( 6 )2 + ( 6)2 - 1B P A1 H Ncos= 44 = - 1 。
故所求二面角= arccos(- 3) 。
EF2 • 6 • 6 34 4例 3. 如图，边长均为 a 的正方形 ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为(0 << 点 N 在 BF 上，若 AM=FN ,(1)求证:MN//面 BCE ; (2)求证:MN ⊥ AB;) 。
点 M 在 AC 上，2(3)求 MN 的最小值.解析：(1)如图,作 MG//AB 交 BC 于 G, NH//AB 交 BE 于 H, MP//BC 交 AB 于 P, 连 PN, GH , 易证 MG//NH, 且 MG=NH, 故 MGNH 为平行四边形,所以 MN//GH , 故 MN//面 BCE ; (2)易证 AB ⊥ 面 MNP, 故 MN ⊥ AB ;(3)∠MPN 即为面 ABCD 与 ABEF 所成二面角的平面角,即∠MPN =,设 AP=x , 则 BP=a －x , ＮP=a －x , 所以： MN =x 2 + (a - x )2 - 2x (a - x ) cos=，故当 x =a 时，ＭＮ有最小值21(1 - cos)a ．2例4.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。
点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 DECM=x ,BN=y, (0 < x , y <2). （1）求 MN 的长(用 x,y 表示)；（2）求 MN 长的最小值，该最小值是否是异面直线 AC ，BF 之间的 A距离。
6CMBPNFMP 2 + PN 2 x 2 + y 2 - x y - 2x + 1 2 2b 2 sin 2+ a 2 cos 2+ (a s in - b cos )22 解析：在面 ABCD 中作 MP ⊥ AB 于 P ，连 PN ，则 MP ⊥ 面 ABEF ，所以 MP ⊥ PN ，PB=1-AP=2x 在∆PBN 中，由余弦定理得：PN 2= (2x )2+ y 2 + - 2xy cos 450= 1x 2 + y 2 - xy ，在 Rt ∆PMN 中，MN= = 2= (0 < x , y < 2). ；（2）MN =，故当 x = ，3y = 时，MN 有最小值 3 3。
且该最小值是异面直线 AC ，BF 之间的距离。
3例 5. 如图，在ΔABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝a,AC ＝b,D 是斜边 AB 上的点，以 CD 为棱把它折成直二面角 A —CD —B 后，D 在怎样的位置时，AB 为最小，最小值是多少?解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作 AM⊥CD 于 M ，BN⊥CD 于 N ，于是 AM ＝bsinθ,CN＝asinθ.∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为 A —CD —B 是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM 与 BN 成 90°的角，于是 AB＝＝ a2+ b 2 - ab sin 2≥ a2+ b 2 - ab .∴当θ＝45°即 CD 是∠ACB 的平分线时，AB 有最小值，最小值为a 2 +b 2 - ab .例 6. 正三棱锥 A-BCD ，底面边长为 a ，侧棱为 2a ，过点 B 作与侧棱 AC 、AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的 体积与三棱锥体积之比.22 (1 - 2 x )2 + 1 x 2 + y 2 - xy2 2 x 2+ y 2- x y - 2x + 1 ( y - x )2 + 3 (x -2 2 43 2 )2 + 1 3BE2- EG 2a 2 - (3a )2 8 55 3 55解析：(1)沿侧棱 AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图 1，当周长最小时，EF 在直线 BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF ，AC ＝AD ，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC ＝a ， DF DB ' DF a同理 B′F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴＝ ， ＝1 1 3DB ' AB '3 a2a11 ＝ ,∴DF＝ a,AF ＝ a.又∵ΔAEF∽ΔACD ，∴BB′＝a+ a+a ＝a,∴2 2 24411 截面三角形的周长的最小值为a.4(2) 如图2，∵ΔBEF 等腰，取EF 中点G ，连BG ，则BG⊥EF.∴BG＝＝＝ 81 1 3 a ∴S ΔBEF ＝·EF·BG＝ · a·a ＝ a 2.2248 64(3)∵V A-BCD ＝V B-ACD ，而三棱锥 B —AEF ，三棱锥 B —ACD 的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即VSEF 29B - AEF＝ △ A EF＝＝V B -CADS △ ACDCD 216评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.55。