高中数学
排列组合二项式定理与概率统计
重点知识回顾
1. 排列与组合
⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关•
⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的
⑶排列与组合的主要公式 ①排列数公式：A n
—n!—
n(n 1) (n m 1) (m < n)
(n m)!
n
A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 • 1.
n(n 1) (n m 1)
(m w n).
m (m 1) 2 1
2. 二项式定理
⑴二项式定理
(a +b)n =C 0a n +Cna n _
1b+…+Ca n 「r b r + ••+ c n b n ,其中各项系数就是组合数
4，展开式共有n+1叽第r+1
项是 T r+1 =C a n r b r .
⑵二项展开式的通项公式
二项展开式的第r+1项T r+1 =c n a n 「r b r (r=0,1,…叫做二项展开式的通项公式。
⑶二项式系数的性质
① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 即 c n = c n r (r=0,1,2,…,n).
问题•区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关,
与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题
②组合数公式：c m
n! m!( n m)! ③组合数性质：① c m
c n m (m w n). C ：
Cn
C ；
c n
c ；
2n
n
②若n 是偶数，则中间项(第n 1项)的二项公式系数最大， 其值为c n ;若n 是奇数，则中间两项(第
2
2
项和第n 3项)的二项式系数相等，并且最大，其值为
2
n 1
n 1
C 2 = C 2 C n - C n
③ 所有二项式系数和等于 2n ,即即C'C + C ；+…+c n =2n . ④ 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 即 C 0+C ：+…=C n +/+••• =2n —
1.
3. 概率
(1) 事件与基本事件:
随机事件:在条件S T ,可能发生也可能不发生的事件 不可能事件:在条件S T , 一定不会发生的事件 必然事件:在条件S T , 一定会发生的事件
基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；
任意两 个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示.
(2) 频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆 动，且随着试验次数的
不断增加而变化，摆动幅度会越来越小•随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验 次数的变化而变化.
(3) 互斥事件与对立事件:
几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例.
两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限 个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个.
(5)
古典概型与几何概型的概率计算公式：
事件
确定事件
(4)古典概型 与几何概型：
古典概型：具 有“等可能发生的 有限个基本事件” 的概
率模型.
查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。
为此，只要我们把握住二项式定理及
其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。
8 8
例4、设(1 x) a o a i x L
ax,则a 。
©」赴中奇数的个数为( )
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
例5、组合数C
(n > r > 1, n 、r € Z )恒等于(
)
r+1 A-1 A .丄疋 n + 1 n -1
r -1
B . (n+1)(r+1)
C 1
r -1
C. nr C
n -1
n_ r -1 D . -C
r n -1
例6、在(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)的展开式中，含x 4的项的系数是
(A )-15
( B )85
(C ) -120
( D ) 274
1
例7、若(x+ 1 )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中
x 4项的系数为 2x
(A)6
(B)7 (C)8
(D)9
考点三：概率
【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事
件的概率、事件在 n 次独立重复试验中恰发生 k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了 考查。
掌握古典概型和几何概型的概率求法。
【命题规律】(1)概率统计试题的题量大致为
2道，约占全卷总分的 6%-10%，试题的难度为中等或中
等偏易。
(2)概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加 工为立意高、情境新、
设问巧、并赋予时代气息 贴近学生实际的问题。
这样的试题体现了数学试卷新的设计 理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。
例8、在平面直角坐标系 xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2的点构成的区域，E 是到原
火炬手•若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成
3为公差的等差数列的概率为
点的距离不大于1的点构成的区域，向
D 中随意投一点，则落入
E 中
例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取 4个，则所 最大号码是6的概率为
1
1
2 (A)
(B) —
(C)
84
21
5
例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为
1, 2, 3，…,
取4个球的
(D)
5
18的18名
1 (A)'
1 (B)'
5168 (C) 1(D) 1
306408
例11、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4，那么播
下
4粒种子恰有2粒发芽的概率是5
1696192256
A.——
B.
C.
D.——
625625625625
排列组合二项式定理与概率统计
课后练习
一、选择题（每题5分，共60分）
1.某房间有四个门，甲要进、出这个房间，不同的走法有多少种？
A . 12B.7 C . 16 D . 64
2 •若二项式(x 2
）n的展开式的第
x
5项是常数项，则自然数n的值为( )
A. 6
B. 10
C. 12
D. 15
3 •一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为()
A 7m 311
A — B.— c. - D.
8883
4 •要完成下列2项调查：
①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；
②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况.
应采用的抽样方法是（）
A.①用随机抽样法②用系统抽样法
B .①用分层抽样法②用随机抽样法
C.①用系统抽样法②用分层抽样法
件A发生的概率P（A ）是
从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从
2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行。
则每人入选的概率
25 1
C都相等，且为1002 D都相等，且为40
（文科做）将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8组如表:
3组的频率和累
A. 0.03 和0.06
将9个人（含甲、
A. 70 B
.
积频率为（
）
B. 1和1
14 37
C. 0.14 和0.37
D. 3和6
14 37
乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为
140 C. 280 D. 840
10 .某人制定了一项旅游计划, 从7个旅游城市中选择5个进行游览。
如果A、B为必选城市，并且在游览过
程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则有不同的游览线路
A. 120 种
B. 240 种
C. 480 种
D. 600种
D.①、②都用分层抽样法
设两个独立事件A和E都不发生的概率为
1
,A发生E不发生的概率与E发生A不发生的概率相同，则事
9
2
A.
9 B.
18
1
C.
3
2
D.
3
有一名同学在书写英文单词error 时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率为
119
A. ——
120
B.
10
19
C.—
20
1
D.
2
A.不全相等
B.均不相等
（理科做）已知随机变量满足E=2,贝U E (2 +3)=
A. 4
B. 8
C. 7
D. 5。