则模F(x)的剩余类构成一个n维线性空间，定义为剩余类 线性结合代数。
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问题一转化为 如何从模多项式xn-1的剩余类结合 代数中寻找循环子空间？
定理
以多项式xn-1为模的剩余类线性结合代数中，其一 个子空间Vn, k为循环子空间(或循环码)的充要条件 是：Vn,k是一个理想。
g(x)、 xg(x)、x2 g(x)、 x3g(x)、
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三、循环码的生成矩阵和校验矩 阵
x n 1 g xhx
g x g n k x
n k
g nk 1 x
问题一 如何寻找k维循环子空间？ 如何设计[n,k]循环码？
—— 利用多项式和有限域的概念
注： 1、GF(p)上的n维向量与GF(p)上的多项式之间有一一对 应的关系
a n1 , a n2 , , a0 ,
ai GF p
an1 x n1 an2 x n2 a0 f x
nk 1
g0
hx hk x hk ，h(x)决定校验矩阵
x k 1 g x, x k 2 g x, , g x
g1 g0 0 0 g n k g n k 1 g n k g n k 1 g1 g 0 0 0 0 G 0 0 g g g g g nk n k 1 2 1 0 k n
若对任一v 恒有 v1 a n2 , a n1 , , a0 , a n1 Vn,k 则称Vn,k为循环子空间或循环码
a n1 , a n2 , , a0 Vn,k
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一、循环码定义
定义1：设CH是一个[n.k]线性分组码，C1是其 中的一个码字，若C1的左(右)循环移位得到的n 维向量也是CH中的一个码字，则称CH是循环码。
是n维空间的一个k维子空间， 定义2：设Vn,k Vn
二、生成多项式和校验多项式
两个定理
定理1:GF(q)(q为素数或素数的幂)上的[n,k]循环 码中，存在唯一的n-k次首一多项式g(x)，每一个 码多项式C(x)必是g(x)的倍式，每一个小于等于 (n-1)次的g(x)的倍式一定是码多项式
两个定理
定理2:GF(q)(q为素数或素数的幂)上[n,k]循环码的 生成多项式g(x)一定是xn-1的n-k次因式： xn-1= g(x) h(x)。 反之，若g(x)为n-k次多项式，且xn-1能被g(x)整除， 则g(x)一定能生成一个[n,k]循环码
循环码是模xn-1的剩余类线性结合代数中的一个 理想。
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问题二 如何从多项式剩余类环中 寻找理想？
由于 1、多项式剩余类环中任何一个理想都是主理 想——主理想中的所有元素可由某一个元素的 倍式构成 2、在主理想的所有元素中，至少可找到一个 次数最低的首一多项式g(x),即生成多项式 定义：生成多项式g(x)是模xn-1剩余类代数中， 一个理想的次数最低的非零首一多项式，它是 理想或循环码的生成元。
2、模n 多项式F(x)的剩余类构成一个多项式剩余类环 Fp[x]/F(x)，若在环中再定义一个数乘运算，即
c a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 a 0
ca n 1 x n 1 ca n 2 x n 2 ca 0 , c GF p
hk 1 h1 0 h0
hk h1
hk 1 hk
hk 2 hk 1
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四、循环码的系统码
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第五章 循环码
要求掌握的内容
根据多项式会写循环码的生成矩阵和校验矩阵 会写循环码生成和校验矩阵的系统形式 会画循环码的编码电路 由生成多项式的根定义循环码
第一节 循环码
定义 循环码的生成多项式和校验多项式 循环码的生成矩阵和校验矩阵 循环码的系统码形式
两个结论
结论1:找一个[n,k]循环码，即是找一个n-k次首一多 项式g(x)，且g(x)必是xn-1的因式。
结论2:若C(x)是一个码多项式，则 g x Cx 反之，若 g x Cx ，则C(x)必是一个码多项式
Examples GF(2)上，x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 试求一个[7,4]循环码。
h ( x) h0 x h1 x x
nk 1 *
*
k
k 1
hk
*
h x, x
n k 2 *
h x, , h x
0 0 0 0 hk n k n
h0 h1 0 h0 H 0
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问题三 如何寻找生成多项式g(x)？
循环码
模多项式xn-1剩余类线性结合代数中的理想
生成多项式
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