" !!［#（#，$）$%（#，$）］! " "#$， ! （%&） 将（%!）式中的%（#，$）展开，代入（%&）式并
变换得：
&
!! ·"! " !!［!(’·)’］!*!!! ·
!
!
’"%
!
&
#（#，$）·!(’·)’+ !! ·［#（#，$）］!，
’"%
!
（%’）
考虑（(）式，并令（%’）式对 (’ 的偏导数为零，
极坐标形式的 %&’()*&多项式的具体表达式 如下：
!"#（"，#）& )"#（"）·%"#（#）， （#）
上式中 # 为多项式的阶数，取值为"，!，#，
…。"为与阶数# 有关的序号，其值恒与# 同奇偶
性，且绝对值小于或等于阶数。令（#）式中
"&#*#% ，
（.）
% )##*#%
& #+&%"（*!）++！ （%
推导得到：
(’ " !! ·#·)’，
（%)）
!
将（%)）式代入（%*）式最终得系数向量 !，即
可将镜面的面形表示成 +,-$#.,多项式系的线性
组合。
/01,2 是具有代表性的光学设计分析程序， 对光学系 统 进 行 光 学 性 能 分 析 是 其 基 本 应 用 之
一。/01, 2 中 使 用 的 +,-$#., 多 项 式 有 标 准 +,-$#.,多项式（+34）和 5-#$6,+,-$#., 多 项 式 （+53）两种类型。5-#$6,+,-$#., 多项式（+53） 已在 5-#$6,软件及其他干涉 图软件里 得到应 用， 它最多可有7)项，是标准 5-#$6,+,-$#.,多项式 （+53）的子集，按不同阶数排列。+,-$#.,多项式 可以精确描述畸变光学表面，并且其每一项都对
"! * ! 进行如下坐标转换：
!# * + #+ * , ! * #-, 其中，+、, 为中间变换矩阵，由上式即可求 得进行+,-$#.,多项式拟合的一系列系数 0。将 所求得的 +,-$#.,系 数 0 写入到一个DE4F 文 件，作为光学程序 /01,2 的输入文件，修正光学 镜面的变形。
! 应用实例
本方法曾作为结构和光学系统软件间的数据 接口，对某光机系统进行了光机热集成分析，应用 的 软 件 主 要 包 括：GHF3H4（ 结 构 分 析 模 块 和 热 分析模块）、/01,2（光学分析程序）。
首先要建立结构有限元模型和光学模型，使 结构模型中镜面上的节点与光学系统模型中的镜 面相对应。镜筒的光学模型的光学线路图、结构 有限元模型分别如图%、!所示。
（# *+）！ *+）！ （# * %
*+）！"#*#+
（#*#% &"）
$ ),##*#%,
（#*#% ’"），
（/）
（ %##*#% &
012（#*#%）# （#*#% &"） 32)(（#*#%）# （#*#% ’"），
%&’()*&多项 式 的 正 交 性 问 题。 首 先 求 出 一 组 在 所有数据点集合上离散正交的，且为 %&’()*&多
镜面的波面总是趋于光滑和连续的，所以一 定可以将镜面的面形变化表示成一个完备基底函 数的线性 组 合 或 一 线 性 无 关 的 基 底 函 数 系 的 组 合。镜面的变形实质上等同于加工或检测时镜面 上存 在 的 畸 变。本 文 借 用 干 涉 检 验 的 概 念，用 +,-./0,多项式 对 工 程 分 析 的 镜 面 面 形 数 据 进 行 处理的方法已经广泛应用于工程项目、光学系统 设计 软 件（如 =>?,@）和 干 涉 检 查（如 +A BCD 等）。
（!#） 比较（!#）式最后一个等式的两端得：
./2*! & 8/，
（!.）
（!.）式两边同时乘 ! 矩阵并转置得：
. & !/·8 ，
（!/）
（!/）式中向量 " 可由已知数据点的数据，用
最小二乘法求得。设9（"，#）为变形后镜面的节
7!9
光学 精密工程
第%9卷
点位置。最小二乘法原理要求：
!! ·"! !
阵 2 中各元素345 的表达式如下
#"
（4 ’5）
% % % ［
345 &(
&
4*!
7 ·!4#* （
6&!
&
7 ·!4·16）#］*!#
（4 &5）
（!!）
4*!
% % ［（
$ 6&!
7 ·!4·16）·244·265］
（4 )5），
将（!!）式代入（<）式即可求得 1。由（5）和 （=）式可得： -（"，#）& ./·! & ./·2*!·1 & 8/·1 ，
第!"卷 第(期 &""& 年 * 月
光学 精密工程
8HI/FGC.?J-,F/G/>.<.K/.,,-/.K
文章编号 !""#$%&#’（&""&）"($"(!)$"*
+,-./0,多项式拟合方法及应用
@>E1!" L>1( MN.1 &""&
单宝忠!，&，王淑岩!，牛憨笨!，刘颂豪&
（!1深圳大学 光电子学研究所，广东 深圳2!)"*"； &1华南师范大学 量子电子学研究所，广东 广州2!"*(!）
+,-./0,多项式是 ;1+,-./0,在!%(# 年构 造 的。+,-./0,多项 式 是 互 为 正 交、线 性 无 关 的，而 且可以唯一的、归一化描述系统圆形孔径的波前 边界。另外，+,-./0,多项式很容易与 9,/?,E像差 项对应，为有选择地单独处理各像差系数、优化系
统性能提供了有效的方法。 +,-./0,多项 式 是 理 想 的 结 构 分 析 与 光 学 分
式 中 !"#（"，#）和 !$%（"，#）为%&’()*&多项式。当 " &"时$ &!，当"""时，$ &"(+。对于具有圆 形光瞳镜面的系统，可将其规一化为单位圆。函数
系的正交使不同多项式的系数相互独立，有利于
消除偶然因素的干扰。
#）和光学设计者惯用的,&)$&-像差系数很容 易建立起联系，如表#所示。
图% 光学系统模型 5#6D% "01,I0J@?,0K@#>;ILML@,<D
第7期
单宝忠，等：G+;<#H+多项式拟合方法及应用
7!8
图! 光学镜筒的有限元模型 "#$%! "&’ ()*+,)-./+)0.#12,.34+%
表! 外载荷作用下光学镜面节点位移
924,+8 :2;.#2,<)*+=’*+-);(2.#)<)-2=3;-21+ 3<#.：!(
%）所取采样点归一化，转换到单位圆内 采样点的归一化就是要求得将圆形光瞳转换
为单位圆后，采样点对应的坐标。归一化后，采样
点的坐标为：
#’ "（#’$#9）／#’ 1’ "（1’$19）／#’ （#9，19）、#’ 为采样点的中心坐标和极坐标
半径。 !）计算+,-$#.,多项式 "，作为基底函数 将%）中归一化的采样点坐标，带入 +,-$#.,
+,-./0,多项式具有如下两个主要特点： !）在单位圆上正交，即有如下关系
收稿日期：&""!$!!$!)；修订日期：&""&$"#$!&
第.期
单宝忠，等：%&’()*&多项式拟合方法及应用
.!=
!#!
!!!"#（"，#）·!$%（"，#）"$#$" ""
&##!’!$ （# & %，"&$） （!） $ " （# " % 或""$），
中得到应用。
关 键 词：+,-./0,多项式；拟合；集成分析；有限元法；光机系统 中图分类号：345# 文献标识码：6
!引 言
光机系统的光学元件在外载荷作用下，由于 镜筒的变形将作整体相对位移，同时，光学表面也 发生面形变化。所有这些变化都引起光学系统的 同心度（789）变化及波前畸变（:;<），从而影响 光学系统的特性。分析恶劣环境下光机系统的光 学性能是很有必要的。
$ & #（##’!）’% ’! ，
（6）
基 底 函 数 选 定 后，剩 下 的 问 题 是 如 何 求 出
（5）式中的常数 .$ ，即求 %&’()*&多项式的线性 组合系数。
上式中2 是系数元素345的方阵。1 中的每一 个元素均满足方程：