不等式的概念和性质 基本知识：1．不等式的定义：用不等号“>,,≥<,≠≤,”将两个代数式连接而成的式子叫做不等式。

2．两个实数的大小：用作差运算定义： ;0b a b a >⇔>-;0b a b a =⇔=-.0b a b a <⇔<- 用作商运算定义：;1b a b a >⇔>;1b a b a =⇔=;1b a ba<⇔< 3．不等式的性质：不等号不改变方向的：①a b b a <⇔> （对称性） ②c a c b b a >⇒>>, （传递性）③m b m a b a +>+⇔> （不等量加等量） ④d b c a d c b a +>+⇒⎭⎬⎫>>（同向不等式相加）（注意：异向不等式不能相加！） ⑤d b c a d c b a ->-⇒⎭⎬⎫<>（异向不等式相减）（注意：同向不等式不能相减！） ⑥bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>>0 （不等量乘正量）； bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>>0 （不等量除正量）⑦bd ac d c b a >⇒⎭⎬⎫>>>>00（同向不等式相乘）（注意：异向不等式不能相乘！） ⑧db c a d c b a >⇒⎭⎬⎫<<>>00（异向不等式相除）（注意：同向不等式不能相除！） ⑨nn b a b a >⇒>>0（不等式的乘方） ⑩nn b a b a >⇒>>0（不等式的开方）不等号要改变方向的： ⑾．bc ac c b a <⇒⎭⎬⎫<>0 （不等量乘负量）； bc ac c b a <⇒⎭⎬⎫<>0 （不等量除负量）⑿．ba ab b a 110<⇒⎭⎬⎫>>（不等量取倒数）均值不等式 基本知识：1．均值不等式1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 2．均值不等式2：如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab ba =+23．变式：22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ，22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （+∈R b a ,）（当且仅当b a =时取“=”） 4．均方——方均不等式：2)2(222b a b a +≤+ 5．推广：（不作要求）（1）定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=∵+∈R c b a ,,∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++ 指出：这里+∈R c b a ,,∵0<++c b a 就不能保证 （2）推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”） （3）若+∈R a a a n ,...,,21，则nn n a a a na a a ......2121≥+++（当且仅当n a a a ===..21时取“=”）6．不等式链：若+∈R y x ,，则yx 1+12≤xy ≤2y x +≤222y x +（调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤加权平均数）7．柯西不等式（特例）：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+ 8．绝对值不等式：定 理 ||||||||||b a b a b a +≤+≤-；三角不等式 ||||||||||b a b a b a +≤+≤-(a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”) 推论1：||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ . 推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-不等式的证明基本知识：证明不等式时，常用的基本方法是比较法、综合法、分析法。

1．比较法：（1）求差比较法：b a b a >⇒>-0（2）求商比较法：b a b b a >⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>012．综合法：由已证不等式和不等式性质推证结论。

3．分析法：从结论出发，分析使这个不等式成立的充分条件，若这些充分条件均具备，则可判定欲证的不等式成立。

4．反证法：（正难则反） ①反设结论； ②推出矛盾； ③肯定回答。

5．换元法：常见类型（最常见的①—⑤）①若⎩⎨⎧===+ααsin cos ,122y x y x 则设，若.tan sec ,122⎩⎨⎧===-ααy x y x 则设②若.1,sin cos ,122≤⎩⎨⎧==≤+r r y r x y x 且则设αα③若).(,sin ,1R x x ∈=≤αα则设④若.sin cos ,222⎩⎨⎧===+ααa y a x a y x 则设⑤若,1)()(22222=+⇒=+R y b R x a R by ax 则设.sin cos ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ααRyb R xa ⑥若)22(,sin )20(,cos ,10παπαπαα≤≤-=≤≤=≤≤x x x 或则设.⑦若).20(,sec ,1παα<≤=≥x x 则设⑧若)22(,tan ,παπα<<-=∈x R x 则设.6．放缩法：适当放缩，适应结论7．判别式法：根据已知（或构造）的一元二次方程的根、一元二次不等式的解集、二次函数的最值等性质确定其判别式应满足的条件，从而得证。

8．最值法：max y x y x >⇔>恒成立； min y x y x <⇔<恒成立9．导数法、添项法、几何法、构造函数法（略）不等式的解法除已讲的一元一次不等式、一元二次不等式、简单高次不等式、分式不等式的解法外，掌握无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法。

基本知识： 1． 无理不等式：①⎩⎨⎧≥<⎩⎨⎧>≥⇔>0)(0)()]([)(0)()()(2x f x g x g x f x g x g x f 或 ②时无解或0)()]([)(0)(0)()()(2<⎪⎩⎪⎨⎧<≥>⇔<x g x g x f x f x g x g x f③⎪⎩⎪⎨⎧>→⎭⎬⎫≥≥⇔>)()()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 2． 指数不等式：①)()(1)()(x g x f a a a x g x f >⇔⎭⎬⎫>>②)()(10)()(x g x f a a a x g x f <⇔⎭⎬⎫<<>3． 对数不等式：①⎪⎩⎪⎨⎧>>>⇔⎭⎬⎫>>)()(0)(0)(1)(log )(log x g x f x g x f a x g x f a a ②⎪⎩⎪⎨⎧<>>⇔⎭⎬⎫<<>)()(0)(0)(10)(log )(log x g x f x g x f a x g x f a a 含绝对值的不等式的解法 基本知识：1．实数的绝对值的意义（前面已讲，此略） 2．和差的绝对值与绝对值的和差的关系：① 定 理 ||||||||||b a b a b a +≤+≤-；② 三角不等式 ||||||||||b a b a b a +≤+≤-(a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”)③推 论 1 ||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ . ④推 论 2 ||||||||||b a b a b a +≤-≤-3．含绝对值的不等式的解法 ①),(0a a x a a x -∈⇔⎭⎬⎫><； φ=⇔⎭⎬⎫≤<x a a x 0②),(),(0+∞--∞∈⇔⎭⎬⎫>>a a x a a x ；00≠⇔⎭⎬⎫=>x a a x ；.0R x a a x ∈⇔⎭⎬⎫<> ③)()()()(22x g x f x g x f >⇔>综合应用：1．一元二次不等式的有解问题、恒成立问题。

2．一元二次的有解无解问题。

3．二次函数的最值问题。

4．多面体和旋转体的面积、体积的最值问题。

5．点、线、面之间的位置关系问题。

6．三角式的最值问题。

等等。

直线的方程 基本知识：1．直线方程与方程的直线（略）2．直线的倾角：直线与x 轴正向所成的最小正角。

3．直线倾角α与斜率k ： ① 关系： 1212tan x x y y k --==α (α≠900) ② 表示： 当0≥k 时，;arctan k =α当0<k 时，arctan ;k απ=- ③范围：)180,0[0∈α；R k ∈④对比：4．直线方程的形式： ① 点斜式：)(11x x k y y -=-；②斜截式：b kx y +=；③两点式：121121x x x x y y y y --=--； ④截距式：1=+bya x ；⑤ 一般式：0=++C By Ax （B A 、不同时为0）⑥ 特殊的直线方程：垂直于x 轴且横截距为a 的直线方程是a x =，y 轴的方程是0=x 垂直于y 轴且横截距为b 的直线方程是b y =，x 轴的方程是0=y5．特殊形式和一般形式之间的关系：① 点斜式是四种特殊形式中最基本、最特殊的。

② 在一定条件下，特殊形式和一般形式之间可以互化。

6．直线方程的一般求法：① 直接法：选用符合条件的方程形式直接写出。

② 待定系数法：设方程、求系数、定答案。

两直线的位置关系 基本知识：1． 点与直线的位置：点到直线的距离：①点）（00,y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离：2200B A CBy Ax d +++=②两平行直线01=++C By Ax 和02=++C By Ax 间的距离：2221BA C C d +-=2．两直线的平行与垂直：直线位置关系：设直线1l 和2l 分别有斜截式方程(此时，斜率存在)：111:b x k y l +=，222:b x k y l +=.①两线平行：1l ∥2l ⇔=1k 2k 且21b b ≠； ②两线垂直：12121-=⇔⊥k k l l ；3．两直线所成的角：①12121tan k k k k +-=θ)180,0((00∈θ；②12121tan k k k k +-=α])90,0((00∈α 4．两直线的交点：设直线0:,0:22221111=++=++C B x A l C y B x A l ，则（1）⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 无 解1l ⇔∥2l 212121C C B B A A ≠=⇔.（2）⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 有唯一解相交与21l l ⇔2121B B A A ≠⇔.（3）⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 有无穷解⇔⇔重合与21l l 212121C C B B A A ==.或212121,C C B B A A ==且5．巧设直线方程：①过两点),(),,(2211y x y x 的任意直线：))(())((112121x x y y x x y y --=--； ②过点),(00y x P 的直线：)0(0)()(00≠⋅=-+-B A y y B x x A 或)(00x x k y y -=-； ③与直线0=++C By Ax 平行的直线：)(0C m m By Ax ≠=++或;m x BAy +-=（C m B ≠≠,0）④与直线0=++C By Ax 垂直的直线：0=+-m Ay Bx 或m x ABy +=（0≠A ） ⑤过直线0111=++C y B x A 与0222=++C y B x A 的直线：(111λ+++C y B x A 0)222=++C y B x A （不表后直线）；简单的线性规划 基本知识：1．平面区域的判断 设直线:l 0=++C By Ax①若A>0,则0>++C By Ax 表示l 右半平面区域； 则0<++C By Ax 表示l 左半平面区域. （同正右方，否则左方）②若B>0,则0>++C By Ax 表示l 上半平面区域； 则0<++C By Ax 表示l 下半平面区域. （同正上方，否则下方）2．线性规划①线性约束条件:对于变量x,y 的约束条件，都是关于x,y 的一次不等式； ②目标函数：欲达到最值所涉及的变量x,y 的解析式Z=f (x,y)称… ③线性目标函数：当解析式Z=f (x,y)是x,y 的一次式时… ④线性规划：求线性目标函数在约束条件的最值问题… ⑤可行解：满足约束条件的解(x,y)… ⑥可行域：由所有可行解构成的集合… ⑦最优解：使目标函数取得最值的解… ⑧整点的求法：⑨目标函数的斜率为正、为负时的区别：曲线与方程基本知识：1．曲线的方程，方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C （看着适合某条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下的关系：（1） 曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解；（纯粹性） （2） 方程0),(=y x f 的解为坐标的点都是曲线上的点，（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）2．若曲线C 的方程是0),(=y x f 3．求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M （y x ,）.（2）写出适合条件p 的点M 的集合};)({M p M P =（可据情省略）（3）用坐标表示条件)(M p ，列出方程0),(=y x f ；（4）化方程0),(=y x f 为最简形式（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.（可省略）圆的方程 基本知识：1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 定点就是圆心（确定圆的位置），定长就是半径（确定圆的大小）2．圆的方程：①圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心在C （b a ,），半径为r② 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，A ．化为标准方程 44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++B ．圆心坐标为（2,2E D --），半径F E D r 42122-+=.0> C ．方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠==040022AF E D C A B③ 圆的参数方程A ．圆222r y x =+)0(>r 的参数方程为)(sin cos 是参数θθθ⎩⎨⎧==r y r xB ．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程为)(sin cos 是参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x2．点、直线、圆的位置关系： ① 点在圆内、上、外； ② 直线与圆相离、切、交；③ 圆与圆相离（内离和外离）、切（内切和外切）、交； 3．巧设与圆有关的方程：若直线:l 0=++C By Ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x圆1C ：011122=++++F y E x D y x ，圆2C ：022222=++++F y E x D y x （圆C 、1C 、2C 均存在）① 过直线l 和圆C 交点的圆系方程为：(22λ+++++F Ey Dx y x 0)=++C By Ax ② 过圆1C 和圆2C 交点的圆系方程为：(11122λ+++++F y E x D y x 0)22222=++++F y E x D y x （不含2C ）过圆1C 和圆2C 交点的直线（公共弦）方程为：0)()()(212121=-+-+-F F x E E x D D椭 圆基本知识： 椭圆的一般式： ),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+定义1．平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于∣F 1F 2∣）的动点的轨迹叫椭圆.2．平面内与一定点的距离和一定直线的距离的比是常数的动点的轨迹是椭圆。