2017年春国家开放大学“经济数学基础”任务1参考答案
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一、填空题 1.___________________sin lim
0=-→x x x x .答案：0 2.设 ⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：1 3.曲线x y =+1在)2,1(的切线方程是 .答案：1322y x =+ 4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 2
5.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f .答案：2
π- 二、单项选择题
1.当x →+∞时，下列变量为无穷小量的是（D ）
A ．ln(1)x +
B ．21x x +
C ．21
x e -D ．sin x x 2.下列极限计算正确的是（B ） A.1lim 0=→x x
x B.1lim 0=+→x x x
C.11sin lim 0=→x x x
D.1si n lim =∞→x
x x 3.设y x =lg2，则d y =（ B ）．
A ．12d x x
B ．1d x x ln10
C ．ln10x x d
D ．1d x
x 4.若函数f (G )在点G 0处可导，则(B)是错误的．
A ．函数f (G )在点G 0处有定义
B ．A x f x x =→)(lim 0
，但)(0x f A ≠ C ．函数f (G )在点G 0处连续D ．函数f (G )在点G 0处可微
5.当1,()f x f x x ⎛⎫'== ⎪⎝⎭
则（B ）.
1 x B．
2
1
x
-C．
1
x
D．1
x
-
A．
2
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三、解答题
1．计算极限
（1）=-+-→123lim 221x x x x )1)(1()1)(2(lim 1+---→x x x x x =)1(2lim 1+-→x x x =21- （2）8665lim 222+-+-→x x x x x =)4)(2()3)(2(lim 2----→x x x x x =)4(3lim 2--→x x x =21 （3）x x x 11lim 0--→=)11()11)(11(lim 0+-+---→x x x x x =)11(lim 0+--→x x x x =21)11(1lim 0-=+--→x x （4）=+++-∞→42353lim 22x x x x x 31423531lim 22=+++-∞→x x x x x （5）=→x x x 5sin 3sin lim 0535sin 33sin 5lim 0x x x x x →=53 （6）=--→)2sin(4lim 22x x x 4)2sin()2)(2(lim 2=-+-→x x x x 2．设函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x x x a x b x x x f ，
问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？ （2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.
解：（1）要使()0f x x =在处极限存在，则必有
+00
lim ()lim ()x x f x f x -→→= 又+0
0sin lim ()lim 1x x x f x x
-→→== --001lim ()lim sin x x f x x b b x →→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
即b =1 所以当a 为实数，b =1时，f (G )在G =0处极限存在
（2）要使()0f x x =在处连续，则必有
lim ()(0)=x f x f a →=
当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。

3．计算下列函数的导数或微分：
（1）2222log 2-++=x x y x ，求y ' 解：2ln 12ln 22x x y x +
+=' （2）d cx b ax y ++=，求y ' 解：y '=
2)()()(d cx b ax c d cx a ++-+2)
(d cx cb ad +-= （3）531-=x y ，求y ' 解：531-=x y =21)53(--x 3)
53(23--='x y （4）x x x y e -=，求y ' 解：x x x
y e )1(21
+-='
（5）bx y ax sin e =，求y d 解：)(sin e sin )e ('+'='bx bx y ax ax
b bx bx a ax ax ⋅+=cos e sin e
)cos sin (e bx b bx a ax +=dx bx b bx a dy ax )cos sin (e +=
（6）x x y x
+=1
e ，求y d 解：y d x x
x x d e )123(1
2-= （7）2e cos x x y --=，求y d
解：y d x x
x
x x d )2sin e 2(2-=- （8）nx x y n sin sin +=，求y '
解：y '=x x n n cos sin 1-+nxn cos =)cos cos (sin 1nx x x n n +-
（9）)1ln(2x x y ++=，求y '
解：
y ')1(1122'++++=x x x x )2)1(211(11
2122x x x x -++++=)11(1122x x x x ++++=211x +=
（10）x x x y x 212
321cot -++=，求y ' 解：652321cot 61211sin 2ln 2--+-='x x x x y x 4.下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y '或y d （1）1322=+-+x xy y x ，求y d
解：方程两边关于G 求导：0322=+'--'+y x y y y x
32)2(--='-x y y x y ，
x x
y x y y d 223d ---= （2）x e y x xy 4)sin(=++，求y '
解：解：方程两边关于G 求导4)()1)(cos(='++'++y x y e y y x xy )cos(4))(cos(y x ye y x e y x xy xy +--='++
)
cos(e )cos(e 4y x x y x y y xy xy +++--=' 5．求下列函数的二阶导数：
（1）)1ln(2x y +=，求y ''
（2）
x x y -=1，求y ''及)1(y ''
，
所以1)1(=''y。