收稿日期 : 2007- 12 - 04
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1 物理方程及其简化
1 1 控制方程和边界条件 竖直壁面的自然对流换热如图 1 所示, 图中 g 是重力加速度 , T 、 分别 是主流的 温度和密 度,
,在
此借助 MATLAB 手段, 通过数值计算的方法对竖壁
基金项目 : 甘肃省自然科学科研基金重点资 助项目 ( 3ZS051 A 25 030 , 3ZS 042 B25 049 ) ; 兰州 交通大学 科研基金 ( DX S 07 0028, DX S 07 00289) 作者简介 : 李 珍 ( 1979 - ) , 女 , 河北省唐山人 , 硕士 , 研究方向 : 计算流体力学 , E m ai: l heb l izh en @ 163. com。
!
相应的边界条件为 : y 1 ( 0 ) = 0 , y2 ( 0 ) = 0 , y2 ( ! ∀ )∀0 , y4 ( 0 ) = 1 , y 4 ( !∀ ) ∀ 0 , 其中, y 1 为修正 流函数, y 2 为速度, y 4 为温度。
; 是运动黏度 ; a 是热扩散率; 是流体的 T -T 密度 ; p 0 是标准大气压; v 是垂直于主流方向的流速。 边界条件为 : y = 0 , u= v= 0 , T = TW = 常数; y ∀ u∀ 0 , T∀ T 。
1 4
时的两个边界条 件必须
由 != 0时的相应边界条件代替。可以设定 y 3 ( 0 ) = df d T = a, y 5 ( 0 ) = = b。通过给 a, b 一 2 ! = 0 d! ! = 0 d! 个试探值 , 从而获得 a, b 的值, 如表 1 。对于某些普 朗特常数 , 认为积分限无限大 , 所以对结果必须进行 实验以确定 ! 值
第 1期
李
பைடு நூலகம்
珍, 等 : 竖壁自然对流的数值模拟 以简化为具有如下形式的两个常微分方程 df df df * f 2-2 +T = 0 , 3+ 3 d! d! d! dT d T P rf = 0 , 2 + 3 d! d!
* 2 * * 3 2 2 [ 4]
59 : ( 4) ( 5)
TW 是壁面温度 , T 是流体的温度, u 是主流方向的流 速。运用数量级分析
[ 1] [ 2] 李世武 , 熊莉 芳 . 封闭 方腔 自然对 流换 热的 研究 [ J] . 工业加 热 , 2007, 36( 3) : 10- 13 . 孙 亮 , 孙一峰 , 孙德军 , 等 . 水平自然热对流 中流量和热通量 的研究 [ J] . 水动力学研究与进展 , 2006, 21( 2) : 252- 258 . [ 3] [ 4] 杨世铭 , 陶文铨 . 传热学 [ M ]. 北京 : 高等教育出版社 , 2006. 郭宽良 , 孔祥谦 , 陈善年 . 计 算传热学 [ M ] . 合肥 : 中 国科学技 术大学出版社 , 1988 . [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] 杨强生 . 对流传热与传质 [ M ]. 北京 : 高等教育出版社 , 1985. EDW ARD B M. A n engineer s gu ide to MA TLA B [ M ] . 北京 : 电 子工业出版社 . 2002 . 张 奕 , 郭恩震 . 传热学 [ M ]. 南京 : 东南大学出版社 , 2004. 葛新石 , 王义方 , 郭宽良 . 传热的 基本原 理 [ M ]. 合肥 : 安徽教 育出版社 , 1985 .
分方程表示。含有新变量的微分方程如下: dy 1 dy 2 dy 3 dy 4 2 = y 2, = y 3, = 2y 2 - 3y 1 y 3 - y 4, = d! d! d! d! y 5, 方程中, 是流体的体积膨胀系数, 1 = 1 T
p
0
dy 5 = - 3P ry 1 y 5。 d!
[ 4]
: != 0 , f= 0 , df = 0 和 d!
df * ∀ 0和 T ∀ 0 。 d! df df , y 3 = 2, d! d!
2
1 3 最终求解方程及边界条件 引入下面的中间变量: y 1 = f, y 2 =
*
y4 = T , y5 =
*
d T , 可以将上述系统用五个一阶常微 d!
第 18 卷
第 1期
2008 年 1 月
黑 龙 江 科 技 学 院 学 报 Journal of H e ilo ng jiang Institute o f Sc ie nce& T echno lo gy
Vo. l 18 N o . 1 Jan . 2008
文章编号 : 1671 - 0118( 2008) 01 - 0058- 03
0 980 9 0 674 2 0 418 6
- 0 085 2 - 0 504 8 - 1 167 4
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黑
龙
江
科
技
学
院
学
报
第 18 卷
在速度差 , 否则会由于黏滞摩擦而引起主流运动 , 因 而该处的速度也要为 0 。可见, 在接近热壁的中 间处速度有一个峰值 , 其速度分布曲线为图 2 所示 的单峰形曲线 ; y 3 曲线反映了 y 2 曲线变化的快慢, 即反映出边界层内流体的速度变化率 , 故其在边界 层外界其值也为 0 ; y 4 为边界层内的温度分布曲线, 壁面附近温度变化较快, 离表面较远处温度变化较 慢。在贴壁处 , 流体温度等于壁面温度 TW , 在离开 壁面的方向上逐步降低。在边界层外温度不均匀作 用消 失 , 流 体 温 度 恢 复为 远 离 表 面 的 主 流 温 度 [ 3] T ; y 5 为温度梯度曲线 , 温度梯度是普朗特数 P r 的函数
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, !
。文中对于 P r = 0 01 , 积分限为
0< ! < !m ax = 20 , 如图 2a。对于 P r = 0 72 和 10 ,积 分限为 0< ! < !m ax = 5 , 如图 2b、 2c 。对于三个不同 的普朗特数, 各未知量曲线图见图 2。
表 1 y3 ( 0)和 y5 ( 0)的计算结果 T ab le 1 Calcu lation resu lts of y3 ( 0 ) and y5 ( 0)
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的方法 , 常物性、 无内热源、
不可压缩牛顿流体沿竖直壁面的二维稳态对流换热 的微分方程组可简化为: u v + = 0 , x y u u u + v = g (T - T ) + x y u T T T +v = a 2。 x y y
2 2
( 1) u 2, y ( 2) ( 3)
*
式中 , P r 是普朗特常数, 式中的 f 和 T 都只是 ! 的 函数。 该系统的边界条件为 T = 1 ; !∀ ,
Num erical simulations of natural convection from vertical plate
L I Zhen , C H U Yandong , LI X ia nf eng , ZHANG J ian gang
1, 2 1 1 1
( 1. D epa rt m ent ofM a the m atics and P hys ics , L anzhou Jiaotong U n iversity , L anzhou 730070, China ; 2. Depart m ent of Basic T each ing , T angshan Co llege , T ang shan 063000, Ch ina)
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,
2 数值解及结果分析
求解这些方程, ! ∀
2 *
1 2 相似方程和边界条件 实践表明 , 竖壁自然对流边界层中的局部速度 分布是相似的, 它的局 部温度分布也 是相似的 。 根据这个条件, 利用量纲一的参数相似变换后 , 把竖 壁自然对流换热 的控制方 程即偏微 分方程 ( 1 ) ~ ( 3) 转化为常微分方程 , 从而使得数值求解简单化。 y G rx 为得到相似解, 引入相似变量 ! = x 4
竖壁自然对流的数值模拟
李
摘
珍 ,
1 , 2
褚衍东 ,
1
李险峰 ,
1
张建刚
1
( 1. 兰州交通大学 数理学院 , 兰州 730070 ;
2 . 唐山学院 基础教学部 , 河北 唐山 063000)
要 : 为了研究竖壁自然对流换热的特点 , 将边界层的控制方程转化为相似方程 。 在此基
础上, 进一步采用引入中间变量的方法, 将相似方程转化为五个常微分方程 。运用 MATLAB 对相 似解进行数值模拟, 获得了层流边界层内速度和温度的分布特点 , 同时 , 得到了与其相关的其它物 理量的变化规律 。 关键词 : 自然对流 ; 竖壁 ; 边界层 ; 数值模拟 中图分类号 : TK124 文献标识码: A
0 引
言
自然对流层流换热进行了数值模拟研究 , 并且从传 热学的角度对所得曲线图进行分析 , 得出了层流边 界层内速度和温度及相关物理量的变化规律, 其结 果与理论分析相吻合。
自然对流在工业上和日常生活中有着广泛的应 用 , 自然对流换热问题也是数值传热学研究的经典 课题之一。目前 , 已经有许多人针对此问题从不同 [ 1- 2] 角度做出充分的研究 。笔者对竖壁自然对流层 流换热问题作了进一步的研究 , 对于竖壁自然对流 边界层方程的分析解已由 E. P ohlhausen 给出
Abstract : T he attempt to investigate the feature of natural heat convect io n invo lv es transform in g con tro l equations in boundary layer in to approx i m ate equations . Based on th ism ethod , approx i m ate equations becom e five ordin ary d ifferentia l equat io ns by in troduc ing indirect variab les. Adoptin g MATLAB fo r nu m erical si m u lation o f th e approx i m a te so lu tio ns renders possible not on ly the featu re of distribu tio n o f tem perature and ve loc ity in boundary layer o f la m in ar flow, but a lso the chang ing rules of other quantit ie s o f physics. K ey w ords: natural convection; vertical p late ; boundary layer ; num erica l si m ulat io ns