《数据模型决策》复习（作业）题二、分析、建模题1、（广告策划）一家广告公试司想在电视、广播及杂志做广告，其目的是尽可能多地招徕顾客。

下面是市场调查结果：这家公司希望广告费用不超过800（千元），还要求：（1）至少有二百万妇女收看广告；（2）电视广告费用不超过500（千元）；（3）电视广告白天至少播出3次，最佳时间至少播出2次；（4）通过广播、杂志做的广告各重复5到10次。

试建立该问题的数学模型，并用软件求解。

解：设变量X1, X 2, X 3, X 4为白天、最佳时间、无线电广播、杂志次数目标函数maxZ=400 X1+900X2+500 X 3+200 X 4约束条件s.t40 X 1+75 X 2+30 X 3+15 X 4≤80040X1+400X2+200X3+100X4≥80040X1+75X2≤500X1≥3X2≥2,X3≥5X3≤10X4≥5X4≤10X i≥0 i=1,2,3,4软件求解2、（指派问题）分配甲、乙、丙、丁四人分别去完成A、B、C、D 四项工作。

已知每人完成各项工作的时间如下表所示。

规定每项工作只能由一人去单独完成，每个人最多承担一项工作。

如何分配工作，使完成四项工作总的耗时为最少？建立线性规划数学模型（不求解）。

解：设变量X11,X12,X13,X14为甲参加1，2，3，4工作，X 21,X22,X23,X24为乙参加1，2，3，4工作，X31,X32,X33,X34为丙参加1，2，3，4工作，X41,X42,X43,X44为丁参加1，2，3，4工作目标函数maXZ= 10X11+5X12+15X13, +20X14 +2X21+10X22+5X23+15X24+3X31+15X32+14X33+13X34 +15X41+2X42+7X43+6X44约束条件s.tX11+X12+X13, +X14=1X21+X22+X23+X24=1X31+X32+X33+X34=1X41+X42+X43+X44=1X i,j≥0 i=1,2,3,4 j=1,2,3,4软件求解3、昼夜运营的公交线路每天各时间区段内所需要的司机和乘务员人数如下表：设司机和乘务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。

建立该问题的线性规划数学模型，并用软件求解。

解：设变量X1,X 2,X 3,X 4,X 5,X 6为班次人数目标函数minZ= X1+X 2+X 3+X 4+X 5+X 6约束条件s.tX1+X 6≥60X 1+X2≥70X 2+X 3≥60X 3+X 4≥50X 4+X 5≥20X 5+X 6≥30X i ≥0 i=1,2,3,4,5,64、一家百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示。

为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。

问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？用软件求解。

解：设X i i=1,2,3,4,5,6，7为星期一至星期天每天所需休息人数，建立数学模型目标函数：Min X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7约束条件s.tX1 + X2 + X3 + X4 + X5≥31X2 + X3 + X4 + X5 + X6≥15X3 + X4 + X5 + X6 + X7≥24X4 + X5 + X6 + X7+ X1 ≥25X5 + X6 + X7 + X1 + X2 ≥19X6 + X7+ X1 + X2 + X3 ≥31X7+ X1 + X2 + X3 + X4≥28X i≥0i=1,2,3,4,5,6，75、（投资问题）某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。

某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。

已知：项目A：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。

项目B：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为40万元，第二、三、四年不限；项目C：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利128％，但规定最低投资金额为30万元，最高金额为50万元；项目D：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为10万元的整数倍，最高金额为40万元。

据测定每万元每次投资的风险指数如右表：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在280万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？解：a）确定决策变量：连续投资问题设X i,j≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,4 表示第i年初投资于A(j=1), B(j=2), C(j=3), D(j=4)项目金额。

建立如下决策变量约束条件s.t.第一年A，B项目年未可收回投资，故第一年全部资金投入，有X11+ X12=200第二年B次年收回投资，故第二年年初资金为1.06 X11，有X21+ X22+ X24=1.06 X11第三年年初资金为1.06 X21+1.15 X12，有X31+ X32+ X33=1.06 X21+1.15 X12第四年年初资金为1.06 X31+1.15 X22，有X41+ X42 =1.06 X31+1.15 X22第五年年初资金为1.06 X41+1.15 X32，有X51 =1.06 X41+1.15 X22B,C,D投资限制：X12≥40X33≥30X33≤50X24≤40X24=10y y=1,2,3,4X i,j≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,4目标函数及模型MaxZ=1.06 X51+1.15 X42+1.28 X33+1.4 X32约束条件s.tX11+ X12=200X21+ X22+ X24=1.06 X11X31+ X32+ X33=1.06 X21+1.15 X12X41+ X42 =1.06 X31+1.15 X22X51 =1.06 X41+1.15 X22X12≥40X33≥30X33≤50X24≤40X24=10y y=1,2,3,4X i,j≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,4b）所设变量与问题a)同，目标函数为风险最小，有MinZ= X11+ X21+ X31+ X41+X51+ 2.5(X12+X22+ X32+ X42)+ 4X33+5.5X24 增加约束条件，使得第五年年末拥有资金的本利在280万元，1.06 X51+1.15 X42+1.28 X33+1.4 X32≥280目标函数MinZ= X11+ X21+ X31+ X41+X51+ 2.5(X12+X22+ X32+ X42)+ 4X33+5.5X24约束条件s.tX11+ X12=200X21+ X22+ X24=1.06 X11X31+ X32+ X33=1.06 X21+1.15 X12X41+ X42 =1.06 X31+1.15 X22X51 =1.06 X41+1.15 X221.06 X51+1.15 X42+1.28 X33+1.4 X32≥280X12≥40X33≥30X33≤50X24≤40X24=10y y=1,2,3,4X i,j≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,46、（目标规划）一工艺品厂商手工生产某两种工艺品A、B，已知生产一件产品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3工时。

A、B产品的单位利润分别为250元和125元。

为了最大效率地利用人力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限；次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提下，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于200和120件，因为B 产品比A产品更重要，不妨假设B完成最低产量120件的重要性是A完成200件的重要性的1倍。

如何安排生产，并用软件求解。

目标规划中引入偏差变量，其作用是允许约束条件不被精确满足。

解：本题有3个不同优先权的目标，用P1，P2，P3表示从高到低的优先权。

对应P1有两个目标，每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限；对应P2，有一个目标，次要任务是要求每周的利润超过70000元；对应P3有一个目标，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于200和120件目标线性规划Min P1(d1+)+P1(d2-)+P2(d3-)+ P3(d4-)+P3(2d5-)s.t.2 x1+3 x2-d1++ d1-=6802 x1+3 x2- d2++d2-=600250 x1+125 x1- d3-+d3+=7000x1–d4++d4-=200x2–d5++d5-=120x1, x2,d1+,d1,d2+,d2-,d3-,d3+,d4+,d4-,d5+,d5-≥0三、求解题1、设某商业银行有10亿元资金，其中一部分用于贷款（L）,贷款利率6%（不易流通），另一部分用于购买证券，证券利率4%（易流通）。

银行要求在下列约束下使总盈利最大：（1）流动投资至少保持在25%；（2）老客户的贷款额至少为8000万元。

建立该问题的数学模型，并用图解法求解。

MaxZ=0.06 x1+0.04x2s.t.x1+x2≤10x1≥0.8x2≥0.25(x1+x2)x1,x2≥02、表1-表2分别给出了各产地和各销地的产量和销量，以及相应的单位运价。

（1）建立该运输问题的数学模型；（2）试用软件求最优解。

表1表2产销量平衡x ij i=1,2,3 j=1,2,3,4表示从产地i到销地j 则有产地A1 到销地B1, B2, B3, B4运价为:4 x11+ x12+4 x13+6 x14产地A2 到销地B1, B2, B3, B4运价为:3 x21+2 x22+5 x23+0 x24产地A3 到销地B1, B2, B3, B4运价为:1 x31+7 x32+5 x33+1 x34 s.t.x11+ x12+x13+x14 =8x21+ x22+x23+x24 =8x31+ x32+x33+x34=4x11 + x21 +x31 =6x12 + x22 + x32 =5x13 +x23 +x33=6x 14 + x 24 + x 34=3 x ij ≥0 i=1,2,3 j=1,2,3,4[例题]：在一项关于软塑料管的实用研究中，工程师们想估计软管所承受的平均压力。

他们随机抽取了9个压力读数，样本均值和标准差分别为3.62kg 和0.45。