第一章 集 合1 、1、1集合的含义【探索新知】在小学、初中我们就接触过“集合”一词。
例子：（1）自然数集合、正整数集合、实数集合等。
（2）不等式0722>--x x 解的集合（简称解集）。
（3）方程0232=+-x x 解的集合。
（4）到角两边距离相等的点的集合。
（5）二次函数2x y = 图像上点的集合。
（6）锐角三角形的集合（7）二元一次方程12=+y x 解的集合。
（8）某班所有桌子的集合。
现在，我们要进一步明确集合的概念。
问题1、从字面上看，怎样解释“集合”一词？2、如果上面例子中的数、点、图形、数对和物体等称为“研究对象”，那么集合又是什么呢？1、集合、元素的概念再看例子（9）质数的集合。
（10）反比例函数xy 1=图像上所有点。
（11）2x 、2y xy +、22y -（12）所有周长为20厘米的三角形。
问题3、从集合中元素个数看，上面例子（1）（2）（4）（5）（6）（7）（9）（10）（12）与例子（3）（8）（11）有什么不同？2、有限集和无限集指出：集合论是德国数学家Cantor （1845～1918）在十九世纪创立的，集合知识是现代数学的基本语言，为进一步研究数学提供了极大的便利。
集合、元素的记法问题4、（1）集合、元素各用什么样的字母表示？（2）N 、)(+*N N 、Z 、Q 、R 等各表示什么集合？元素与集合的关系阅读教材填空:如果a 是集合A 的元素 ， 就记作_________，读作“____________”；如果a 不是集合A 的元素，就记作__ ____，读作“______ _____”.用∈或∉填空：1、6______N ， 23-______Q ， 31_______Z ，14.3_______Q π_______Q ，2、设不等式012>-x 的解集为A ，则 5_______A , 3-_______A3、012=+-y x 的解集为B ，则)4,1(-_______B , )3,1(_______B , 2-_______B问题5、元素a 与集合A 有几种可能的关系？集合的性质① 确定性：例子1、下列整体是集合吗？①个子高的人的全体。
②某本数学资料中难题的全体。
③中国境内的海拔高的山峰的全体。
2、集合A 中的元素由∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系？（1）0 （2（3②互异性：例子、集合M 中的元素为1，x ，x 2-x ，求x 的范围？③无序性：反思总结:【课堂检测】1、实数x,－x,｜x ｜,332,x x -是集合P 中的元素，则P 最多含（ ）A 2个元素B 3个元素C 4个元素D 5个元素2、设a 、b 都是非零实数，y=||a a +||b b +||ab ab 可能的取值为（ ） A.3 B. 3,2,1 C. 3，1，-1 D. 3，-1反思总结:【拓展提升】--活动与探究数集A 满足条件：若a ∈A ，则a-11∈A （a ≠1）. （1）若2∈A ，试求出A 中其他所有元素.（2）设a ∈A ，写出A 中所有元素.【练习】1、设一边长为1且有一内角为40°的等腰三角形组成集合P ，试问P 中有多少个元素?2、已知集合A 有三个元素2+a ，2)1(+a ，332++a a （1）若1A ∈，则集合A 中还有哪些元素？（2）若1A ∉，则a 应满足什么条件?1、1、2集合的表示法【复习检测】 一、集合、元素的概念；集合如何按元素个数分类？二、集合、元素的记法三、元素与集合的关系四、集合的性质。
问题：1、在初中我们曾用表示*N , 但是象抛物线2x y =上的点的集合、 实数集等又怎样表示呢？2、在初中人们常说不等式013<+-x 的解集为31>x ，但在高中这样的说法就是不恰当的，究竟应该这样表示这些集合呢？【探索新知】集合的表示法列举法例1、用列举法表示下列集合（1）方程0232=+-x x 解的集合。
（2）24与18的公约数的集合。
（3）大于5且小于30的质数的集合。
（4）二元一次方程102=+y x 的正整数解的集合。
又如：下列集合也可以用列举法表示（1）自然数集（2）正整数的倒数集合（3）小于50的且被3除余1的正整数的集合。
问题1、下列集合可以用列举法表示吗？（1）直角三角形的集合。
（2）不等式2321->-+x x 的解集。
（3）某农场的拖拉机的集合。
描述法例2、用描述法表示下列集合（1）直角三角形的集合。
（2）不等式2321->-+x x 的解集。
（3）不等式21324x x x >+-+的解集。
（4）方程0232=+-x x 解的集合。
方程012=+x 解的集合。
问题2、设方程012=+x 解的集合为φ，φ中有元素吗?你能再举一些这方面的例子吗？（5）二元一次方程12=-y x 的解的集合。
（6）二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+422y x y x 的解集。
（7）抛物线12+=x y 上点的集合。
二次函数12+=x y 的函数值y 的集合。
二次函数12+=x y 的自变量x 的取值范围。
（8）被3除余1的整数的集合。
指出：有些集合还可以用Venn 图表示。
例如、下列集合可以用Venn 图表示① {}9,7,4,1 ② {} 9,7,4,1反思总结:【课堂检测】1、下列集合中哪些具有相同的元素？ {}1|2-==x y x A {}1|),(2-==x y y x B {}1|2-==x y y C{}12-==x y D {}1|-≥=x x E {}R t t y y F ∈-==,1|2， {}R y y x x G ∈-==,1|2；2.关于方程组⎩⎨⎧=-=+31y x y x 的解集,下面表达正确的是________.①{(x ,y )|⎩⎨⎧x =2y =-1} ； ②{(2,-1)} ； ③{(x ,y )| (2,-1)}； ④{2,-1}【拓展提升】：试用列举法表示下列集合(1)A={x N ∈ |126N x ∈-} (2)已知B={126N x∈-｜x N ∈}【练习】 1．用列举法表示下列集合（1） A ={x |x=2n n ∈Z }； B ={x |x=2n-4 n ∈Z }；C ={x |x=4n n ∈N Z }；D ={x |x=4n+2 n ∈N Z }；(2) A ={x |x=2n-1 n ∈Z }； B ={x |x=2n+1 n ∈Z }；C ={x |x=4n±1 n ∈Z }；D ={x |x=2n+1 n ∈N }；2．用列举法表示下列集合(1)由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数集合.(2) {(x,y)|3x+2y=16，x ∈N ，y ∈N }.3．设A ={x ∈R |a x 2+2x +1=0,a ∈R }①若A =∅,求a 的值；②若A 中只有一个元素,求a 的值；③若A 中至多有一个元素,求a 的取值集合.1、2集合之间的关系1、2、1 子集与真子集【复习检测】1、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧集合的性质元素与集合的关系集合、元素的记法集合、元素的概念集合的含义2、⎪⎩⎪⎨⎧图法描述法列举法集合的表示法enn V问题：1、实数之间存在着相等或不等关系，那么集合间又有怎样的相等或不等关系呢？2、元素与集合间是“属于”或“不属于”的关系，那么集合间还是这样的关系吗？【探索新知】子集的定义阅读下列一段话：已知{}3,2,1=A ，{}5,4,3,2,1=B A 中任意一个元素都在B 中，就说A 包含于B ，记作B A ⊆（或B 包含A ）； 也说A 是B 的子集。
在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的子集：1、N ,*N (或+N ),Z ,Q ,R2、①{}1|->=x x A ，{}2|>=x x B②{}3|->=x x A ，{}21|<<-=x x B③{}53|<<-=x x A ，{}21|<<-=x x B④{}3x 1|>-<=或x x A ，{}21|><=x x x B 或3、{}是三角形x |x U =，{}是锐角三角形x |x A =，{}是钝角三角形x |x B = {}是直角三角形x |x C =，{}是斜三角形x |x D = 问题：集合A 是集合A 的子集吗？指出：对任意的N n ∈,n ≤0，类比可以规定：φ是任何集合A 的子集，即A ⊆φ。
集合相等的定义例子、{}01|2=-=x x A ，{}1,1-=B 问题：集合A 是集合B 的子集吗? 集合B 又是集合A 的子集吗?结论：集合A 是集合B 的子集，同时集合B 又是集合A 的子集，即集合A 和集合B 有相同的元素，就说集合A 与集合B 相等。
B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆ 下列两个集合相等吗？1、{}023|2=+-=x x x A ,{}30|<<∈=x Z x B 2、{}30|<<=x x A ,{}30|<<∈=x Z x B3、{}51-3|>=x x A ,{}2|>=x x B真子集的定义阅读下列一段话：已知{}3,2,1=A ，{}5,4,3,2,1=B B A ⊆且B A ≠（或者说B A ⊆且B 中至少有一个元素不在A 中），则说A 是B 的真子集，记作B A ⊂。
在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的真子集：1、N ,*N (或+N ),Z ,Q ,R2、①{}1|->=x x A ，{}2|>=x x B②{}3|->=x x A ，{}21|<<-=x x B③{}53|<<-=x x A ，{}21|<<-=x x B④{}3x 1|>-<=或x x A ，{}21|><=x x x B 或3、{}是三角形x |x U =，{}是锐角三角形x |x A =，{}是钝角三角形x |x B = {}是直角三角形x |x C =，{}是斜三角形x |x D =应该指出：1、子集、集合相等和真子集可以用Venn 图表示。
2、显然: C A C B B A ⊆⇔⎭⎬⎫⊆⊆ 若 ⎭⎬⎫⊂⊂C B B A ，或 ⎭⎬⎫⊂⊆C B B A ，那么A 是C 的真子集吗？ 问题：集合{}b a ,有哪些子集，其中又有哪些真子集？有哪些非空真子集？对于{}c b a ,,，{}d c b a ,,,呢？从中你能得出什么结论呢？【例题剖析】例1、已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧===x y x y y x A 3|),(，那么A 中的非空子集有多少个？例2、求满足{}{}4,3,2,1,01,0⊆⊂A 的集合A 的个数。