25　
１畅计算下列极限：（１）lim x →０sin ωx x ； （２）lim x →０tan ３x
x
；（３）lim x →０sin ２x sin ５x
；
（４）lim x →０x cot x ；（５）lim x →０
１－cos ２x
x sin x
；
（６）lim n →∞
２n
sin x
２
n （x 为不等于零的常数）．解　（１）当ω≠０时，
lim x →０
sin ωx x
＝lim x →０ω·sin ωx ωx ＝ωlim x →０sin ωx ωx ＝ω；当ω＝０时，
lim x →０
sin ωx
x
＝０＝ω，故不论ω为何值，均有lim x →０
sin ωx
x
＝ω．（２）lim x →０tan ３x x ＝lim x →０３·tan ３x ３x ＝３lim x →０tan ３x
３x
＝３．（３）lim x →０
sin ２x
sin ５x ＝lim
x →０
sin ２x ２x ·５x sin ５x ·２５＝
２５lim x →０sin ２x ２x ·lim x →０５x sin ５x ＝２５
．（４）lim x →０x cot x ＝lim x →０
x sin x ·cos x ＝lim x →０x
sin x ·lim x →０
cos x ＝１．（５）lim x →０１－cos ２x x sin x ＝lim x →０２sin ２
x x sin x ＝２lim x →０sin x
x ＝２．（６）lim n →∞
２n
sin x
２
n ＝lim n →∞sin
x ２
n x
２
n ·x ＝x ．
２畅计算下列极限：
（１）lim x →０（１－x ）１
x ； （２）lim x →０（１＋２x ）１
x ；（３）lim x →∞１＋x x
２x ；
（４）lim x →∞１－１
x
kx
（k 为正整数）．解　（１）lim x →０（１－x ）１
x ＝lim x →０［１＋（－x ）］１
（－x ）
（－１）
＝e
－１
．
（２）lim x →０（１＋２x ）１
x ＝lim x →０（１＋２x ）１
２x ２＝e ２
．（３）lim x →∞１＋x
x
２x ＝lim x →∞
１＋
１
x
x
２
＝e ２
．
26　
（４）lim x →∞１－１
x
kx
＝lim x →∞１＋１
（－x ）
（－x ）（－k ）
＝e
－k
．
倡
３畅根据函数极限的定义，证明极限存在的准则Ⅰ′．
准则I ′　如果（１）g （x ）≤f （x ）≤h （x ），x ∈U 。

（x ０，r ），（２）lim x →x ０
g （x ）＝A ，lim x →x
０
h （x ）＝A ，那么lim x →x
０
f （x ）存在，且等于A ．证　橙ε＞０，因lim x →x
０
g （x ）＝A ，故愁δ１＞０，当０＜｜x －x ０｜＜δ１时，有｜g （x ）－A ｜＜ε，即
A －ε＜g （x ）＜A ＋ε，
（３）
又因lim x →x
０
h （x ）＝A ，故对上面的ε＞０，愁δ２＞０，当０＜｜x －x ０｜＜δ２时，有｜h （x ）－A ｜＜ε，即
A －ε＜h （x ）＜A ＋ε．
（４）
取δ＝min ｛δ１，δ２，r ｝，则当０＜｜x －x ０｜＜δ时，假设（１）及关系式（３）、（４）同
时成立，从而有
A －ε＜g （x ）≤f （x ）≤h （x ）＜A ＋ε，
即有｜f （x ）－A ｜＜ε．因此lim x →x
０
f （x ）存在，且等于A ．注　对于x →∞的情形，利用极限lim x →∞
f （x ）＝A 的定义及假设条件，可以类似地证明相应的准则Ⅰ′．
４畅利用极限存在准则证明：（１）lim n →∞１＋
１
n
＝１；（２）lim n →∞
n １n ２
＋π＋１n ２＋２π＋…＋１
n ２＋n π
＝１；（３）数列２，２＋２，２＋２＋２，…的极限存在；（４）lim x →０n
１＋x ＝１；（５）lim x →０
＋
x １x
＝１．证　（１）因１＜１＋
１n ＜１＋１
n ，而lim n →∞１＝１，lim n →∞１＋１n
＝１，由夹逼准则，
即得证．
（２）因
n
n ＋π≤n １n ２＋π＋１n ２＋２π＋…＋１n ２＋n π≤n ２
n ２＋π
，而lim n →∞n n ＋π＝１，lim n →∞n
２
n ２
＋π
＝１，由夹逼准则，即得证．
27　
（３）x n ＋１＝２＋x n （n ∈N ＋
），x １＝２．
先证数列｛x n ｝有界：
n ＝１时，x １＝２＜２；假定n ＝k 时，x k ＜２．当n ＝k ＋１时，x k ＋１＝
２＋x k ＜２＋２＝２，故x n ＜２（n ∈N ＋
）．
再证数列｛x n ｝单调增加：因　x n ＋１－x n ＝
２＋x n －x n ＝２＋x n －x ２
n ２＋x n ＋x n ＝－（x n －２）（x n ＋１）
２＋x n ＋x n
，
由０＜x n ＜２，得x n ＋１－x n ＞０，即x n ＋１＞x n （n ∈N ＋
）．
由单调有界准则，即知lim n →∞x n 存在．记lim n →∞
x n ＝a ．由x n ＋１＝２＋x n ，得x ２
n ＋１＝２＋x n ．
上式两端同时取极限： lim n →∞x ２
n ＋１＝lim n →∞
（２＋x n ），得
a ２＝２＋a 痴　a ２
－a －２＝０痴a １＝２，a ２＝－１（舍去）．
即lim n →∞
x n ＝２．注　本题的求解过程分成两步，第一步是证明数列｛x n ｝单调有界，从而保证数
列的极限存在；第二步是在递推公式两端同时取极限，得出一个含有极限值a 的方程，再通过解方程求得极限值a ．注意：只有在证明数列极限存在的前提下，才能采用第二步的方法求得极限值．否则，直接利用第二步，有时会导出错误的结果．
（４）当x ＞０时， １＜n
１＋x ＜１＋x ；
当－１＜x ＜０时，
１＋x ＜n
１＋x ＜１．
而lim x →０１＝１，lim x →０
（１＋x ）＝１．由夹逼准则，即得证．（５）当x ＞０时，１－x ＜x １x
≤１．而lim x →０
＋
（１－x ）＝１，lim x →０
＋
１＝１．由夹逼准则，即得证．
１畅当x →０时，２x －x ２
与x ２
－x ３
相比，哪一个是高阶无穷小？解　因为lim x →０（２x －x ２
）＝０，lim x →０
（x ２
－x ３
）＝０，lim x →０x ２
－x ３
２x －x ２＝lim x →０x －x
２
２－x
＝０，所以当x →０时，x ２
－x ３
是比２x －x ２
高阶的无穷小．
２畅当x →１时，无穷小１－x 和（１）１－x ３
，（２）
１２
（１－x ２
）是否同阶？是否等价？。