第一部分数学史第一章数学的起源和远古数学文献1.计数意识的起源。

数学的起源和人类文明的起源几乎是同步的。

恩格斯在《反杜林论》中指出：“和其他各门科学一样，数学是从人的需要中产生的，如丈量土地和测量容积，计算时间和制造器械。

”“数”的概念萌发于早期人类对事物的计数，结绳与书契可能是所有早期文明中最主要的计数方法。

随着文字的出现，人类开始用一些文字符号按照一定的规则表记数字，这些规则就是进位制和符号布列方式，它们是记数法的要素。

在世界各地文明中，形成了各自独特的数字符号体系和记数方法,例如：简单分群数系、乘法分群数系、字码数系、定位数系（位值制）等。

我们今天通常使用的记数方式就是10进制定位系统，与其它记数方法相比，它在计算上有明显的优势，被誉为人类社会进步的基础。

2.埃及的两种主要的数学纸草书、埃及数制，埃及几何的突出成就。

著名的古埃及纸草书有两份，这两份纸草书都直接书写着数学内容，一份叫“莫斯科纸草书”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。

这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草书”，现藏于莫斯科美术博物馆。

另一份叫“莱因特纸草书”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。

这份纸草书于1858年被苏格兰人莱因特购得，后为英国博物馆收藏。

这两份纸草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法，整数四则运算，单位分数的独特用法，试位法，求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活实践中的应用问题。

埃及数制：据史料记载，早在公元前4000年左右，埃及就有了象形文字，在这种文字中他们以10为基数进行记数。

这些文字是用单独的图画来表示一个数的，1是垂直的木棍，10是放牛用的弯曲工具，102是一端卷起的测量绳，103是一朵莲花，104是竖着的手指，105是小鸟，106是举起双手受惊的人，107是太阳。

古埃及人单独或重复使用这些符号并将其依次排起来就可表示所有的数。

这种记数法虽然以10为基数，用的是十进制，但并非位值制。

由于缺乏位值制概念，这种记数法也存在着许多困难，例如：25346就需要用上20个记数符号，这对于算术和代数的发展是极为不利的。

埃及几何的突出成就：埃及几何的突出成就是金字塔数学。

古埃及人留下来的数学文献极少，但现存的活文献——金字塔，却给现代人留下了许多数学之谜。

多少年来，许多学者对埃及金字塔都进行了实地考察，对于建于公元前3000年至公元前2000年的古建筑提出了不少难解之谜，尤其围绕着最大的金字塔——胡夫金字塔（建于约前26世纪）提出了下面这些不可思议的问题：（1）塔底每边长232m，误差小于20cm，塔高146.5m，东南西北角误差仅为1.27cm，直角误差仅为12”，方位误差在2’~5’之间，这样的精确度就是现代建筑也望尘莫及。

（2）用来砌塔的石块达230万块之多，重量从2.5吨到50吨不等，石块间的接缝之小连铅笔刀也难以插入。

（3）塔高的10亿倍恰巧等于地球到太阳的距离，而塔底与塔高的2倍之比近似等于3.1416，这是公元3世纪时人们才得到的圆周率的最高精度。

（4）穿过塔的子午线恰好把地球上的陆地与海洋分为两半，而塔的重心正好落在引力中心线上。

它充分体现了古埃及人精确的几何测量技术和高超的建筑技术。

3.巴比伦数制和解二次方程的方法。

普林顿322号泥板书的数学意义。

巴比伦数制：巴比伦人采用60进位制记数法，采用了位置值制，其记数法主要用加法原则并辅之以乘法原则，高位数写在低位数之左。

但是由于巴比伦的位值制没有零的记号，所以巴比伦的位值制记数法并不完善，它所表示的数需根据上、下文才能确定。

巴比伦人经常使用分数，且其分母总是常数60，巴比伦人把分数当作“整体”看待而并不看做一的几分之几。

由此可见，巴比伦记数并不属于严格的位值制记数法。

解二次方程的方法：巴比伦数他们用特殊的方法能够解出一些一次、二次甚至三次、四次方程。

例如：问题——求一个数，使它与其倒数之和等于给定的数。

用现代记号表示即相当于：。

这实际上是相当于解x2－bx＋1＝0这样的一元二次方程。

对于这个二次方程，巴比伦人给出的答案是：普林顿322号泥板书的数学意义：关于巴比伦数学，很令人感兴趣的是“普林顿322号”泥板书即1923年由收藏家普林顿收藏、现存于哥伦比亚大学珍本图书馆的第322号收藏品。

该品有4列数字，共15行，其数字皆为楔形文字，跟普通的账单一样。

认真研究就会发现：两列中的对应数字（除4个例外）构成一边长为整数的直角三角形的斜边和一个直角边。

现在人们把（3，4，5）这样一组能作为直角三角形的边的正整数称为毕氏三数。

从中可以看到巴比伦的数学成果是十分丰富的。

第二章希腊数学的兴起和发展1.泰勒斯发现的数学定理和初创的证明，毕达哥拉斯学派、柏拉图学派的主要数学成就。

泰勒斯（约公元前624~前547年）是希腊数学史上第一个著名数学家，在历史上享有“希腊科学之父”美称，被誉为“希腊七贤之一”，比我国孔子还早100年。

他创立了爱奥尼亚学派。

他发现的数学定理：（1分；（2）等腰三角形的两底角相等；（3）两直线相交时，对顶角相等；（4）若已知三角形的一边和两邻角，则此三角形完全确定；（5）半圆周角是直角。

他初创的证明：他关于“等腰三角形底角相等”的证明是这样进行的：如图所示，α=β，γ=δ（同一弓形的角），α—γ=β—δ（等量减等量差相等），则∠OAB=∠OBA。

尽管当时人们对于角的概念还不完善，但这一证明并不失为早起数学证明的典范。

世界演绎几何正是从这里开始的。

毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯学派亦称“南意大利学派”，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织。

古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立。

产生于公元前6世纪末，公元前5世纪被迫解散，其成员大多是数学家、天文学家、音乐家。

它是西方美学史上最早探讨美的本质的学派。

毕达哥拉斯学派以“万物皆数”，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序；据说毕达哥拉斯学派最早发现了所谓“黄金分割”规律，而获得关于比例的形式美的规律。

毕达哥拉斯学派的美学观点是客观唯心主义的，对柏拉图、新柏拉图主义及文艺复兴时期的名的“勾股定理”，据说，毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛，也正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，由此产生了第一次数学危机。

柏拉图学派的主要数学成就。

柏拉图学派的代表人物是柏拉图（约前427年－前347年），他年轻时曾跟随希腊哲学家苏格拉底学习哲学，受到逻辑思想影响，尔后成为雅典举世瞩目的大哲学家．柏拉图从毕达哥拉斯学派吸收了许多数学观点，并运用到自己的学说中，古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。

他认为“数学是一切知识中的最高形式”。

公元前387年，他在雅典城郊创办学园，世人称之为柏拉图学园。

该学园活动时间长达900年，一直到公元529年学园被封闭为止。

柏拉图在数学的理想思维上有重要贡献，他认为数学真理只有通过概念思维才能被发现。

他坚持准确定义、清楚假设和逻辑证明，并首先提出了系统的演绎推理法则。

柏拉图学派还发现了圆锥曲线。

2.芝诺悖论，毕达哥拉斯——柏拉图的宇宙设计说，亚里士多德的数学哲学。

芝诺悖论是古希腊数学家芝诺提系不可分性的哲学悖论。

这些悖论《物理学》一书中而为后人所知。

芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。

这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。

这些方法现解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。

），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。

这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。

这些1/0=无穷。

毕达哥拉斯——柏拉图的宇宙设计说，没找到。

亚里士多德的数学哲学：古希腊科学家亚里士多德（公元前384~前322年）是柏拉图的学生和同事，曾在柏拉图学园学习工作达20年之久。

公元前335年在雅典创办吕克昂学园，从事讲学和研究。

他非常重视抽象概念、抽象思维，创立了逻辑学，制定了以演绎法为主的形式逻辑体系，是形式逻辑的奠基人。

其基本逻辑原理是同一律、矛盾律、排中律、充足理由律及规范推理方法即三段论，为希腊数学的发展奠定了逻辑基础。

3.三大几何难题，《几何原本》，《圆维曲线》，希腊数学的特色和局限性。

古希腊巧辩学派几何三大难题：（1）三等分任意角；（2）立方倍积——作一正方体使其体积为已知正方体的两倍；（3）化圆为方——作一正方形使其面积等于已知圆的面积。

这些问题的难处，是作图只许用直尺（无刻度）和圆规。

实际上这三个问题都不可能用尺规经有限次的作图步骤加以解决。

不过，围绕这三大难题却延生出从无法解到给出了无穷多解，从而创造出近代数学的众多分支等新知识、新方法和新理论。

《几何原本》欧几里得（约公元前330~前275年）生于雅典，相传在雅典柏拉图学园受过教育，熟悉柏拉图几何知识，大约在公元前300年，应托勒密一世邀请客居亚历山大城并主持数学研究，在古典希腊数学成果的基础上，把前人生产实践中长期积累的几何知识整理总结为演绎体系，写成了《几何原本》。

《几何原本》不仅收集了当时有关几何学方面的重要成果，而且用高度技巧和符合逻辑要求的方法展开了几何学的讨论。

该书成书之后，共产生了1000多种版本，2000多年来这部著作仍被认为是世界上最早产生的公理化数学著作的范本。

《几何原本》内容有13卷，共有465个命题。

《几何原本》第5卷是比例论，包括25个命题，可以认为它是《几何原本》的最高成就，从而消除了毕氏学派发现的不可公度比的“逻辑背理”。

《几何原本》在人类文明史上有着无与伦比的意义，它使人们认识到了数学是什么，证明又是什么。

成千上万的人通过学习《几何原本》，受到了严格的数学训练并步入科学殿堂。

它是数学上的瑰宝。

除《几何原本》外，欧几里得还有许多科学著作，如《光学》、《镜面反射》、《数据》、《二次曲线》、《论图形的剖分》、《辨伪术》等等，但遗留下来的纯数学著作却仅有《数据》和《论图形的剖分》两种。

后人为了纪念他，把许多数学名词都以他的名字命名，如“欧几里得几何”、“欧几里得空间”、“欧几里得辗转相除法”。

欧几里得的生平、著作和影响Euclid 约公元前330 ~ 公元前275 ）是古希腊著名的数学家，以其所著《几何原本》闻名于世。

但是，对于他的生平，现在我们知道的很少。

根据非常有限的史料，我们只能推测他生活在公元前3世纪的亚历山大里亚时代，早年在雅典求学，曾是柏拉图的门徒，后来成为亚历山大里亚的学者，并在那里讲授数学。