《函数及其图像》知识点归纳
一．变量与函数
1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x 和y ，对于x 的每一个数值y 都有唯一的值与之对应，我们说x 叫做自变量，y 叫做因变量，y 叫做x 的函数。
2．自变量的取值范围：
一是使自变量所在的代数式有意义；
二是使函数在实际问题中有实际意义。
二．平面直角坐标系：
1．各象限内点的坐标的特征：
（1）点p （x,y ）在第一象限→x ＞0,y ＞0. p （+,+）
（2）点p （x,y ）在第二象限→x ＜0,y ＞0. p （-,+）
（3）点p （x,y ）在第三象限→x ＜0,y ＜0 p （-,-）
（4）点p （x,y ）在第四象限→x ＞0,y ＜0. p （+,-）
2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：
（1）点p （x,y ）在x 轴上→x 为任意实数，y=0 ,p （x,0）
（2）点p （x,y ）在y 轴上→x=0,y 为任意实数 p （0,y ）
3 ．关于x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标的特征：
（1）点p （x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x,-y ）.
（2）点p （x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x,y ）.
（3）点p （x,y ）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y ）
6．点到坐标轴及原点的距离：
（1）点p （x,y ）到x 轴的距离为 ｜y ︱.
（2）点p （x,y ）到y 轴的距离为∣x ∣.
（3）点p （x,y ）到原点的距离为2
2y x 三．函数的图像
判断点p ﹙x,y ﹚是否在函数图像上的方法，将这个点的坐标 ﹙x,y ﹚代入函数关系式，如果满足函数关系式，那么这个点就在函数的图像上，如果不满足函数关系式，那么，这个点就不在函数的图像上。
四．一次函数
（一） 一次函数的定义
1．定义:含有自变量的式子为一次整式，即形如式子y ＝kx+b(其中k 和b 为常数，k ≠0)叫做一次函数。
正比例函数：在一次函数y=kx+b 中如果b=0即变为y=kx(其中k ≠0)，这样的函数叫做正比例函数。
2．注意：
（1）一次函数解析式y=kx+b 的结构特征：
① k ≠0 ②x 的次数是1 ③常数b 为任意实数
（3）正比例函数解析式y=kx 的结构特征
① k ≠0 ②x 的次数是1 ③常数b=0
3．说明：在y=kx+b 中若k=0则y=b ﹙b 为常数﹚这样的函数叫做常数函数，它不是一次函数。
4．正比例函数与一次函数的关系：
正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。
一次函数y=kx+b ，当b=0时为正比例函数
一次函数y=kx+b ，当b ≠0时一般的一次函数
（二） 一次函数的图像
1．一次函数图像的形状：
一次函数y=kx+b 的图像是一条直线，通常称为直线y=kx+b
正比例函数y=kx 的图像也是一条直线，称为直线y=kx
2．一次函数图像的主要特点:
一次函数y=kx+b 的图像经过点﹙0，b ﹚的直线，正比例函数y=kx+b 的图像是经过原点﹙0，0﹚的直线 注意：点﹙0，b ﹚是直线y=kx+b 与y 轴的交点。
① 当b ＞0时，此时交点在y 轴的正半轴上，
② 当b ＜0时，此时交点在y 轴的负半轴上，
③ 当b=0时，此时交点在原点，这时的一次函数就是正比例函数。
3．一次函数图像的画法：
根据两点能画一条直线并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两点，在连成直线即可。
两点为﹙0，b ﹚与﹙-
k b ,0﹚ 4．直线y=kx+b 与坐标轴的交点
（1） 令x=0,则y=b 所以直线y=kx+b 与y 轴的交点坐标为﹙0，b ﹚
（2） 令y=0,则kx+b=0所以x=-k
b
所以直线y=kx+b 与x 轴的交点坐标为﹙-
k b ,0﹚注意：此时直线y=kx+b 与x 轴，y 轴围成的三角形面积S=
21×∣-k
b ∣×∣b ∣
5．两直线在直角坐标系内的位置关系: （1）两直线的解析式中当k 相同时，其位置关系是平行，其中一条直线可以看作是另一条平移得到的，平移规律是“左减右加，上加下减”
（2）两直线的解析式中当b 相同时，其位置关系是相交，交点坐标为﹙0，b ﹚.
（三）一次函数的性质
1．正比例函数的性质
（1）当k ＞0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大，直线y=kx 从左到右上升。
（2）当k ＜0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小，直线y=kx 从左到右下降。
2．一次函数y=kx+b 的性质
（1）当k ＞0时，直线y=kx+b 从左到右上升，此时y 随x 的增大而增大。
（2）当k ＜0时，直线y=kx+b 从左到右下降，此时y 随x 的增大而减小。
（3）当b ＞0时，直线y=kx+b 与y 轴正半轴相交。
（4）当b ＜0时，直线y=kx+b 与y 轴负半轴相交。
3．直线y=kx+b 的位置与k 、b 的符号之间的关系有六种情况：
①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限；
②当k ＞0，b ＜0时，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限；
③当k ＜0， b ＞0时，直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限；
④当k ＜0，b ＜0时，直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限；
⑤当k ＞0，b=0时，直线经过第一、三象限；
⑥当k ＜0，b=0时，直线经过第二、四象限。
（四）正比例函数与一次函数解析式的确定
1．确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式y=kx ﹙k ≠0﹚中的常数k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+b ﹙k ≠0﹚中的常数k 和b,解这类问题的一般方法是待定系数法。
2．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：
（1）设出含有待定系数的解析式；
（2）把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数；
（4）将求得的待定系数的值代回所设的解析式。
注意：通常正比例函数解析式设y=kx ，只有一个待定系数k ，一般只需一对x 与y 的对应值即可；一次函数解析式设y=kx+b ，其中有两个待定系数k 和b ，因而需要两对x 与y 的对应值，才能求出k 和b 的值。
五．反比例函数
（一）反比例函数定义
1．一般的，函数y=x
k ﹙k 是常数，k ≠0﹚叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成y=kx -1的形式，其中k 叫做比例系数。
2．反比例函数解析式的主要特征：
（1）等号左边是函数y,右边是一个分式，分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x 的指数是1，若写成y=kx -1的形式，则x 的指数是-1。
（2）比例系数“k ≠0”是反比例函数定义的重要组成部分。
（3）自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数。
（二）反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，关于原点成中心对称，它的图像与x 轴和y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
（三）反比例函数的性质
1．当k ＞0时，图像在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内y 随x 的增大而减小。
2．当k ＜0时，图像在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内y 随x 的增大而增大。
（四）反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y=x
k 中只有一个待定系数，因此只需要一对x 与y 的对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
（五）反比例函数y=x
k ﹙k ≠0﹚中的比例系数k 的几何意义 1．过双曲线上一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,所得矩形PMON 面积为|k|。
2．连结PO,则S △POM=
21S 矩形=21|k|。
六． 函数的应用
1．利用图像比较两个函数值的大小
在同一直角坐标系中的两个函数图像，如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方，则该函数值就比另一个函数值大，若在下方，则该函数值就比另一个函数值小，而其交点的横坐标就是分界点。
2．两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系
如果两个一次函数的图像相交，则交点坐标必定同时满足两个函数解析式，故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。
3．一次函数与方程、不等式的关系
（1）一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的纵坐标等于0，反映在函数解析式就是函数值等于0，则其横坐标也就是自变量的值为方程kx+b=0的解。
（2）一次函数y=kx+b在x轴上方的图像，任意一点的纵坐标都大于0，反映在函数解析式就是函数值y ＞0，则对应的横坐标，也就是自变量的值即为不等式kx+b＞0的解集。
（3）一次函数y=kx+b在x轴下方的图像，任意一点的纵坐标都小于0，反映在函数解析式就是函数值y ＜0，则对应的横坐标，也就是自变量的值即为不等式kx+b＜0的解集。