2
圆的切点弦方程
1已知圆的方程x 2 y 2 r 2,求经过圆上一点 M （x °,y °）的切线方程。

【方法】1.设出直线，再求解;
2. 利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

究竟是什么关系呢下面我们进行探究:
•••点M 的坐标（X o , y o ）满足直线MA 与 MB 的方程,
、当点M 在圆 O 上时，直线L 是圆的切线。

二、当点M 在圆 O 外时, 1.直线 L 不是圆 O 的切线, F 面证明之: •••圆心 O 到L 的距离为d .2 2 ,由M （X o , y o ）在圆O 外，得 一 x °2
X y 2
y o
r ,故直线L 与圆0相交.
2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢 首先研究L 的特征: 易知: OM L 。

r 2
2
r 2 2
y o 2
OA ON OM ,（N 为 L 与 OM 的交点） 从而OA MA MA 为圆的一条切线, 故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

事实上（另证）， 如图1,设过点M 的圆O 的两条切线为L i ,L 2,切点分别为 A B,
则直线MA IXM y^
r 2，直线 MB:X 2X y 2y r 2
【结论1】过圆x 2 y 2 r 2上一点M （X 。

，y 。

）的切线方程 :XX o yy o r 。

【问题】对于坐标平面内任一点
M （x o , y o ）,直线L : X o X
y o y
2 2
r 与圆O ： x
2
X i X。

y』o r
… 2，
X2X0 y i y o r
由此可见A B的坐标均满足方程x0x y0y r2,
由于两点确定一条直线
•••直线AB的方程为X o X y o y r2。

所以此时的直线L是经过点P的切点弦AB所在直线的方程，而不是圆0的切线。

【注】上述点M直线L实质上是射影几何中的极点和极线。

特别的，当M在圆上时，极线即为切线。

三、当点M在圆0内时，
1.直线L也不是圆0的切线。

下面给出证明：
2 ___________________________________________________________ •••圆心0到L的距离为d , r，由M(X o,y°)在圆0内，得Jx°2 y。

2 r ..X2 y2
d r故直线L与圆0相离.
丿
2.此时直线L与圆的切线的关系又如何呢y
V
L o
首先研究L的特征：
由上述探讨过程易知，
直线L 0M
图2
此外，L 一定过点P ( P为两切线的交点，AB 0M,
从而L就在图2中过点P且与AB平行的位置处。

事实上(另证)，
•••直线L的斜率k i 匹，而直线0M勺斜率k om 山,
y o X o
• L 0M
一方面，过点M与OM垂直的直线L0方程为(x x0)x0 (y y0)y0 0,
即X0X y°y X02y。

2
2
x °x y °y r 另一方面，将直线 OM 与 L 的方程联立
y 0 y —x X o
2 2
得到它们的交点P 的坐标为（x °r 2
, y °r 2）， X o y o X o y o
即x o x y o y x o 2 y o 2，即为直线L o 的方程。

由此我们看到L // L o ，直线L 是由点M 确定的。

另外，直线L 是过点M 的弦（除O, M 的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹， 证明如下：
设P （x , y ）,由（二）可知动弦 AB 的方程为xx y y r 2 ,
又因为点M 在AB 上，则xx 。

y y o r 2，以x , y 分别代x , y ，则x o x y o y r 2。

由（二）可知过点 P 的圆的切点弦所在直线的方程为
2
y o r
2
2 2
X o y o。