(t ) (t )
1
2
1
2
（4-9）
ψ1﹥ψ2，φ﹥0，称电压u比电流i超前φ角，或i
比u滞后φ 角。
当两同频正弦量的相位差φ=00时，我们称它们 同相，当φ=1800时，称反相。图4.2中，u超前i 角度ψ1-ψ2。
注意，不同频率的两个正弦量不能进行相位比 较。
练习.判断如图4-1-1（a)（b)（c)（d）中 i1 与i2哪两个正弦量同相、超前、正交、反相?
两个频率相同的正弦量的相位角之差或初 相位之差，称相位差。
同频率正弦量的相位差
u U m sin(t 1) i Im sin(t 2 )
同一正弦交流电路中，电压u和电流i 的频 率是相同的，但初相位不一定相同。如图 4.2所示，
图4.2 不同相位的电压电流信号
同频率正弦量的相位差
它们的初相位分别为ψ1和ψ2。它们的相位差为
特别地，复数 e j 的模为1，辐角为。把一个复
数乘以 e j 就相当于把此复数对应的矢量反时针方
向旋转 角。
2 正弦量的相量表示
设有一复数 A(t) Ae j(t) 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且 辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为
由于
A(t) Ae j(t) Ae je jt Aejt A(t) Ae j(t) A cos(t ) j A sin(t )
一般所讲的正弦电流或电压的大小，均是指有效值。例如交流电压 380V或220V都是指电压的有效值，其最大值分别为 537V、311V。交 流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值。
3．初相位
在正弦电流4-1式及图4.1中，ωt +ψ称相位 角，简称相位。当t=0 时的相位角即ψ称为 初相角或初相位。初相位ψ值决定了计时时 刻的角度，初相位不同，正弦量的初始值 不同；当ψ=0时，初始值为零。
2．幅值与有效值
1、有效值 周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直
流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间 产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流 量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。
根据有效值的定义，则有 则周期电流的有效值为
i I T 2Rdt 2 RT 0
i I 1 T 2 dt
T0
2、正弦量的有效值
对于正弦电流，设 i(t) I m sin(t i )
I sin I
T 1 T0
2 m
2 (t i)dt
Im2 2T
T 0
[1
c os2(t
i
)]dt
Im2 2T
t
T 0
I
2 m
2
I I m 0.707
2
m
同理 U
1 2 Um 0.707Um
图 4-1-1
4.1.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法
1 复数的运算规律
复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减） 时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加 （或相减）。如：
A1 a1 jb1 r11 A2 a2 jb2 r22
相加、减的结果为： A1±A2= （ a1+jb1 ） ±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)
第4章 正弦交流电路的稳态分析
学习内容 4.1 正弦交流电 4.2 电阻、电感、电容在交流电路中的
特性 4.3 三相交流电路 4.4 日光灯照明电路
4.1 正弦交流电的基本概念
4.1.1 正弦量的三要素 若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交
流电。 以电流为例，正弦量的一般解析式为：(4-1)
正弦量重复变化一次所需要的时间称为周期，用 T表示，单位是秒（s）。每秒内变化的次数称为 频率，用f表示，单位是赫兹（Hz）。
正弦量的变化快慢除用周期和频率表示外，还用 角频率ω来表示，单位是弧度每秒（rad/s）。
因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加 2π，则角频率ω、周期T和频率ƒ之间关系为
2 2f即T 1
T
f
ω、T、ƒ反映的都是正弦量变化的快慢， ω越大，即ƒ越大或T越小，正弦量变化越快； ω越小，即ƒ越小或T越大，正弦量变化越慢。
我国采用50Hz作为电力标准频率，美 （日）等国采用60Hz。这种频率在工业 上应用广泛，习惯称为工频。
工频50Hz，其周期和角频率分别为0.02s， 314 rad/s。
复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐 角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。
如：
A1 A2
r1e j1
r2e j2
r r e j(12 )
12
r1r21
2
r e r A1
r e r A2
j 1
1 j 2
2
1
2
1
2
因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的 辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量； 复数相除相当于顺时针旋转矢量。
i(t) Im sin(t )
波形如图4-1所示
图 4-1 正弦量的波形
式4-1中，i与时间t的关系由最 大值Im，角频率ω和初相位ψ决定， 同时Im、ω、ψ也是正弦量之间进行 比较和区别的依据，因此，把振幅、 角频率和初相位称为正弦量的三要素。
只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。
1．频率与周期
的瞬时值 u(t)（3） 画出相量图
解（1）
•
U
1
＝141
＝100 60＝100 e j60
(50
j86.6)V
23
•
U2
70.7
50 45 50e j45
(35.35
j35.35)V
24
（2）
•
•
•
U U 1U 2 (50 j86.6) (35.35 j35.35)
可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复 数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。
u(t) 2U sin(t u ) Im[ 2Ue j(ttu ) ]
Im Ue ju 2e jt
Im U.
2e
jt
Im
U.
m
e
jt
式中
.
.
.
U Ue ju 或U m 2 U
同理
.
.
.
I Ie ji 或 I m 2 I
.为正弦量的有效值相
量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只
具有对应关系，而不是相等的关系。
图4.3 正弦交流电的相量表示
例 已知 u1=141sin(ωt+60o)V ，
u 2 =70..7sin。(ωt-45o)V 。 求：⑴ 求相量 U1 和U2 ；(2) 求两电压之和