矢量分析与场论习题11．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

()1x a t y b t cos ,sin ==()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。

()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。

4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。

解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。

解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d 2d 2===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。

解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r-+-++=在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dtdr t t 244])64(42[22++=-++====τ于是切线方程为142525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x8．求曲线r ti t j t k 23=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。

解：曲线切向矢量为dri tj t k dtτ223==++， ⑴ 平面的法矢量为n i j k 2=++，由题知()()i tj t k n i k t t j τ221432230=+⋅++⋅+++== 得t 11,3=--。

将此依次代入⑴式，得k j i k j i t t 2719131|,|311-+-=-+-=-=-=ττ故所求点为()1111,11,,,3927⎛⎫---- ⎪⎝⎭习题21．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。

()1u Ax By Cz D1;=+++()2u arc=解：()1场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0+++=外的空间。

等值面为01111=-+++=+++C D Cz By Ax C D Cz By Ax 或为任意常数）（01≠C ，这是与平面Ax By Cz D 0+++=平行的空间。

()2场所在的空间区域是除原点以外的z x y 222≤+的点所组成的空间部分。

等值面为)0(,sin )(222222≠++=y x c y x z ，当c sin 0≠时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当c sin 0=时，是除原点外的xOy 平面。

2．求数量场x y u z22+=经过点()M 1,1,2的等值面方程。

解：经过点()M 1,1,2等值面方程为x y u z 22221112++===，即z x y 22=+，是除去原点的旋转抛物面。

3．已知数量场u xy =，求场中与直线x y 240+-=相切的等值线方程。

解：设切点为()x y 00,，等值面方程为xy c x y 00==，因相切，则斜率为 2100-=-=x y k ，即002y x = 点()x y 00,在所给直线上，有x y 00240+-=解之得y x 001,2== 故2=xy4．求矢量222A xy i x yj zy k =++的矢量线方程。

解 矢量线满足的微分方程为A dr 0⨯=， 或dx dy dzxy x y zy 222== 有.,zdz x dx ydy xdx ==解之得),(,212122为任意常数C C x C z C y x ⎩⎨⎧==- 5.求矢量场zk y x j y i x A )(22+++=通过点M )1,1,2(的矢量线方程。

解 矢量线满足的微分方程为.)(22z y x dzydy x dx +== 由12211C y x ydy x dx +==得， 按等比定理有,)()(22zy x dzy x y x d +=--即.)(z dz y x y x d =--解得.2z C y x =- 故矢量线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-+=zC y x C y x 21,11又)1,1,2(M 求得1,2121=-=C C故所求矢量线方程为.2111⎪⎩⎪⎨⎧=--=z y x y x习题31．求数量场2322u x z y z =+在点()2,0,1M -处沿l xi xy j z k 2423=-+的方向导数。

解：因()MMlxi xy j z k i k 242343=-+=+，其方向余弦为.53cos ,0cos ,54cos ===γβα 在点)1,0,2(-M 处有,1223,04,422223=+=∂∂==∂∂-==∂∂y z x zuyz y u xz x u 所以4125300)4(54=•+•+-•=∂∂l u 2．求数量场223u x z xy z =-+在点()1,1,1M -处沿曲线23,,x t y t z t ==-=朝t 增大一方的方向导数。

解：所求方向导数，等于函数u 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。

曲线上点M 所对应的参数为1=t ,从而在点M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为33,22,1121==-=-====t Mt MMt dtdz tdtdy dtdx ，其方向余弦为.143cos ,142cos ,141cos =-==γβα又5)23(,1,7)6(2=+=∂∂-=-=∂∂=-=∂∂MMM MM Mz x zu x yu y xz xu 。

于是所求方向导数为14241435142)1(1417)cos cos cos (=⨯+-⨯-+⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂MMz u y u x u lu γβα3．求数量场23u x yz =在点()2,1,1M -处沿哪个方向的方向导数最大？ 解： 因()uu l u lθ0grad grad cos ∂=⋅=∂， 当θ0=时，方向导数最大。

,1244)32()(u grad 22323k j i k yz x j z x i xyz k z u j y u i x u MMM +--=++=∂∂+∂∂+∂∂=即函数u 沿梯度k j i M 1244u grad +--=方向的方向导数最大 最大值为114176ugrad ==M。

4.画出平面场)(2122y x u -=中2,23,1,21,0=u 的等值线，并画出场在)2,2(1M 与点)7,3(2M 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u 增大的方向。

解：所述等值线的方程为：,4,3,2,1,02222222222=-=-=-=-=-y x y x y x y x y x 其中第一个又可以写为0,0=+=-y x y x 为二直线，其余的都是以Ox 轴为实轴的等轴双曲线（如下图,图中,u grad 11M G =,u grad 22M G =）由于,u yj xi grad -= 故,22u grad 1j i M -=,73u grad 2j i M -=由图可见，其图形都符合所论之事实。

5．用以下二法求数量场u xy yz zx =++在点()1,2,3P 处沿其矢径方向的方向导数。

()1 直接应用方向导数公式；()2 作为梯度在该方向上的投影。

解：()1点P 的矢径,32k j i r ++=其模.14=r 其方向余弦为.143cos ,142cos ,141cos ===γβα又3)(,4)(,5)(=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂P PP PP Py x zu z x yu z y xu所以。

1422143314241415)cos cos cos (=⨯+⨯+⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂P Pz u y u x u l u γβα()2,345)(ugrad k j i k z uj y u i x u PP++=∂∂+∂∂+∂∂= .1431421410k j i r r r ++==故。

1422143314241415u grad 0=⨯+⨯+⨯=•=∂∂r lu P P6，求数量场z y x xy z y x u 62332222--++++=在点)0,0,0(O 与点)1,1,1(A 处梯度的大小和方向余弦。

又问在哪些点上梯度为0？解：,)66()24(32u k z j x y i y x grad -+-++++=）（ ,036u grad ,623u grad k j i k j i A O ++=--=其模依次为：53036,7)6()2(3222222=++=-+-+ 于是O u grad 的方向余弦为.76cos ,72cos ,73cos -=-==γβα A u grad 的方向余弦为.0cos ,51cos ,52cos ===γβα求使0u =grad 之点，即求坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=++066,024,032z x y y x 之点，由此解得1,1,2==-=z y x 故所求之点为).1,1,2(-7．通过梯度求曲面422=+xz y x 上一点)3,2,1(-M 处的法线方程。

解：所给曲面可视为数量场xz y x u 22+=的一等值面，因此，场u 在点M 处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即,222)22(u grad 2k j i xk j x i z xy MM ++=+++=故所求的法线方程为.231221-=+=-z y x 习题 41.设S 为上半球面),0(2222≥=++z a z y x 求矢量场zk yj xi r ++=向上穿过S 的通量Φ。

【提示：注意S 的法矢量n 与r 同指向】 解：.2232a a a dS a dS r dS r dS r SSSn Sππ=⋅====⋅=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.设S 为曲面),0(2222h z a z y x ≤≤=++求流速场k z y x v )(++=在单位时间下侧穿S 的流量Q 。