dF
xdx
l 2
ox l x
2
kam2dxx2
a a2
x2
kma
(a2
dx x2)23
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
棒对质点的引力的垂直分力为
Fy2kma02 l(a2 dxx2)32
1. 变力沿直线段做功 2. 液体的侧压力 3. 引力
第三节 定积分在物理上的应用
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第三节 定积分在物理上的应用
棒对质点的引力大小为 F2kaml
1
4a2l2
说明 当细棒很长时,可视 l为无穷大, 此时引力大小为 2 k m ， 方向与细棒垂直且指向细棒 .
a
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第五章 定积分及其应用
内容小结:
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
例3 一闸门呈倒置等腰梯形垂直地位于水中,两底的 长度分别为4m和 6m, 高为6m, 当闸门上底正好位于 水面时, 求闸门一侧受到的水压力(水密度103kg/m3).
第五章 定积分及其应用
二.液体的侧压力
第三节 定积分在物理上的应用
由物理学知道 , 如果有一面积为A的薄板水平地 放置在液体中深为 h 的地方, 那么薄板一侧所受的 压力为P = pA，其中 p = ρhg 是液体中深为 h 处的 压强(ρ是液体的密度) .
如果此薄板垂直地放置在液体中, 由于不同深度 的点处压强不同 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 求薄板一侧所受液体的压力则要 用定积分来解决 .
解 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力
q F k r2
q 1 1
则功的元素为 dW krq2 dr o a rrdr b r
所求功为
W abkrq2 dr
kq
1b r a
kq( 1 1) ab
说明
电场r在 a处的电势a为 krq2 d r
kq a
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第三节 定积分在物理上的应用
例5 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在
其中垂线上距 a 单位处有一质量为m的质点M, 计算
该棒对质点的引力 . 解 建立坐标系如图. 细棒上小段
y aMd Fx
[x,xd]x对质点的引力大小为
d Fay
d F k mdx
a2 x2
故垂直分力元素为
dFydFcos
第五章 定积分及其应用
一.变力沿直线段做功
第三节 定积分在物理上的应用
从物理学知道, 如果常力F作用在物体上, 是物体 沿力的方向移动距离S，那么力F对物体所作的功为
W = FS 如果物体在运动中受到的力是变化的, 则上述公 式已不适用. 下面用定积分微元法来解决此问题.
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
在[0, 6]上积分得
P
069.8x26x3dx
9.8
3x2
x3 9
6
0
9.8848.23102(kN)8.23105(N)
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第五章 定积分及其应用
三.引 力
解 选取坐标系如图, AB的方程为
y x3 6
取 x 为积分变量, 变化范围[0,6] 取代表区间[x, x+dx]，在水下深为x m
处的压强为9.8 x kN/m2，因此与代表区间相应的一 小窄条上所受的压力微元 dP9.8x26x3dx
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算 第二节 定积分在几何上的应用 第三节 定积分在物理上的应用
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
第三节 定积分在物理上的应用
本节主要内容: 一.变力沿直线段做功 二.液体的侧压力 三.引力
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
设物体在连续变力F(x)作用下沿 x 轴从 x＝a移动到 xb, 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在 [a,b]上任取[子 x,x区 dx]， 间 在其上所作功元
素为
dW F (x)dx
a x xdx b x
因此变力F(x) 在区间[a,b]上所作的功为
b
WaF(x)dx
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
例1 设在x轴的原点处放置了一个电量为+q的点电荷 形成一个电场 , 求单位正电荷沿 x 轴从 x=a 移动到 x=b时电场力F(x) 所作的功 ( 如下图所示 ) .
第三节 定积分在物理上的应用
质量分别为 m1, m2 的质点 , 相距 r ,
二者间的引力 :
大小:
F
k
m1m2 r2
m1
方向: 沿两质点的连线
m2 r
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .
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第五章 定积分及其应用
y aMd Fx
d Fy
kmaa2
x 2 l a2x20
dF
xdx
2kml 1
a 4a2l2
l 2
ox l x
2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0.
故棒对质点的引力大小为
F2kaml
1
4a2l2
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第五章 定积分及其应用