功和能专题要点1.做功的两个重要因素：有力作用在物体上且使物体在力的方向上发生了位移。

功的求解可利用θcos Fl W =求，但F 为恒力；也可以利用F-l 图像来求；变力的功一般应用动能定理间接求解。

2.功率是指单位时间内的功，求解公式有θcos V F tWP ==平均功率，θcos FV tWP ==瞬时功率，当0=θ时，即F 与v 方向相同时，P=FV 。

3.常见的几种力做功的特点⑴重力、弹簧弹力，电场力、分子力做功与路径无关 ⑵摩擦力做功的特点①单个摩擦力（包括静摩擦力和滑动摩擦力）可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零，在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的转移，没有机械能的转化为其他形式的能；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值，在一对滑动摩擦力做功的过程中，不仅有相互摩擦物体间机械能的转移，还有机械能转化为内能。

转化为内能的量等于系统机械能的减少，等于滑动摩擦力与相对路程的乘积。

③摩擦生热，是指动摩擦生热，静摩擦不会生热 4.几个重要的功能关系⑴重力的功等于重力势能的变化，即P G E W ∆-= ⑵弹力的功等于弹性势能的变化，即P E W ∆-=弹⑶合力的功等于动能的变化，即K E W ∆=合⑷重力之外的功（除弹簧弹力）的其他力的功等于机械能的变化，即E W ∆=其它⑸一对滑动摩擦力做功等于系统中内能的变化，相对Fl Q =⑹分子力的功等于分子势能的变化。

典例精析题型1.（功能关系的应用）从地面竖直上抛一个质量为m 的小球，小球上升的最大高度为H 。

设上升过程中空气阻力为F 恒定。

则对于小球上升的整个过程，下列说法错误的是（ ）A. 小球动能减少了mgH B 。

小球机械能减少了FH C 。

小球重力势能增加了mgH D 。

小球加速度大于重力加速度g 解析：由动能定理可知，小球动能的减小量等于小球克服重力和阻力F 做的功。

为（mg+F ）H ，A 错误；小球机械能的减小等于克服阻力F 做的功，为FH ，B 正确；小球重力势能的增加等于小球小球克服重力做的功，为mgH ，C 正确；小球的加速度g mFmg a >+=，D 正确规律总结：⑴重力做功与路径无关，重力的功等于重力势能的变化⑵滑动摩擦力（或空气阻力）做的功与路径有关，并且等于转化成的内能⑶合力做功等于动能的变化⑷重力（或弹力）以外的其他力做的功等于机械能的变化题型2.（功率及机车启动问题）在汽车匀加速启动时，匀加速运动刚结束时有两大特点： ⑴牵引力仍是匀加速运动时的牵引力，即ma F Ff =-仍满足 ⑵Fv P P ==额2.注意匀加速运动的末速度并不是整个运动过程的最大速度题型3.（动能定理的应用）如图所示，竖直平面内的轨道ABCD 由水平轨道AB 与光滑的四分之一圆弧轨道CD 组成，AB 恰与圆弧CD 在C 点相切，轨道固定在水平面上。

一个质量为m 的小物块（可视为质点）从轨道的A 端以初动能E 冲上水平轨道AB ，沿着轨道运动，由DC 弧滑下后停在水平轨道AB 的中点。

已知水平轨道AB 长为L 。

求： （1）小物块与水平轨道的动摩擦因数μ（2）为了保证小物块不从轨道的D 端离开轨道，圆弧轨道的半径R 至少是多大？ （3）若圆弧轨道的半径R 取第（2）问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是1.5R 处，试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上。

如果能，将停在何处？如果不能，将以多大速度离开水平轨道？解析：（1）小物块最终停在AB 的中点，在这个过程中，由动能定理得：E L L mg -=+-)5.0(μ 得mgLE32=μ（2）若小物块刚好到达D 处，速度为零，同理，有E mgR mgL -=--μ，解得CD 圆弧半径至少为mgE R 3=（3）设物块以初动能E ′冲上轨道，可以达到的最大高度是1.5R ，由动能定理得，E mgR mgL '-=--5.1μ，解得67E E ='，物块滑回C 点时的动能为25.1E mgR E C ==，由于32EmgL E C=<μ，故物块将停在轨道上。

设到A 点的距离为x ，有C E x L mg -=--)(μ ，解得 L x 41= ，即物块最终停在水平滑道AB 上，距A 点L 41处。

题型4.（综合问题）如图甲所示，abcdef 为同一竖直平面上依次平滑连接的滑行轨道，其中ab 段水平，H=3m ，bc 段和cd 段均为斜直轨道，倾角θ=37º，de 段是一半径R=2.5m 的四分之一圆弧轨道，o 点为圆心,其正上方的d 点为圆弧的最高点，滑板及运动员总质量m=60kg ，运动员滑经d 点时轨道对滑板支持力用Nd 表示，忽略摩擦阻力和空气阻力，取g=10m/s2，sin37º=0.6， cos37º=0.8 除下述问(3)中运动员做缓冲动作以外，均可把滑板及运动员视为质点。

(1)运动员从bc 段紧靠b 处无初速滑下，求Nd 的大小；(2)运动员逐渐减小从bc 上无初速下滑时距水平地面的高度h ，请在图乙的坐标图上作出 Nd-h 图象(只根据作出的图象评分，不要求写出计算过程和作图依据)；(3)运动员改为从b 点以υ0=4m/s 的速度水平滑出，落在bc 上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面方向的速度继续滑行，则他是否会从d 点滑离轨道?请通过计算得出结论 解析：解：(1)从开始滑下至d 点，由机械能守恒定律得221)(υm R Hmg =-① Rm N mg d 2υ=-②，由①②得：N RHmg N d360)23(=-=③ (2)所求的h N d -图象如图所示 (3)当以s m /40=υ从b 点水平滑出时，运动员做平抛运动落在Q 点，如图所示设Bq=1s ，则212137sin gt s =④t s 00137cos υ=⑤，由④⑤得，s gt 6.037tan 200==υ⑥s m gt y /6== ⑦ 在Q 点缓冲后s m y Q /8.637cos 37sin 000=+=υυυ ⑧从d Q → 222212121)(Q d m m mgR gt H mg υυ-=-- ⑨ 运动员恰从d 点滑离轨道应满足：Rm mg d2`υ=⑩由⑨⑩得76.422`=-d dυυ 即d d υυ>` ⑩可见滑板运动员不会从圆弧最高点d 滑离轨道。

专题突破针对典型精析的例题题型，训练以下习题1. 如图，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O 点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中，理得212FW mgR mv -=代入数据得：v =4m/s ⑶当绳与圆环相切时两球的速度相等。

cos B R h R R Hα==⋅=0.225m指导：动能定理的应用⑴动能定理的适用对象：涉及单个物体（或可看成单个物体的物体系）的受力和位移问题，或求解变力做功的问题。

⑵动能定理的解题的基本思路： ⅰ选取研究对象，明确它的运动过程ⅱ分析研究对象的受力情况和各力做功情况，然后求各个外力做功的代数和 ⅲ明确物体在过程始末状态的动能21K K E E 、。

ⅳ列出动能定理的方程12K K E E W -=合，及其它必要的解题方程，进行求解。

⑥机械能守恒定律的应用 ⑴机械能是否守恒的判断：ⅰ用做功来判断，看重力（或弹簧弹力）以外的其它力做功代数和是否为零 ⅱ用能量转化来判断，看是否有机械能转化为其它形式的能ⅲ对绳子突然绷紧，物体间碰撞等问题，机械能一般不守恒，除非题目中有特别说明或暗示1. 如图，小物块位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力 A ．垂直于接触面，做功为零 B ．垂直于接触面，做功不为零 C ．不垂直于接触面，做功为零 D ．不垂直于接触面，做功不为零【分析解答】根据功的定义W=F·scosθ为了求斜面对小物块的支持力所做的功，应找到小物块的位移。

由于地面光滑，物块与斜面体构成的系统在水平方向不受外力，在水平方向系统动量守恒。

初状态系统水平方向动量为零，当物块有水平向左的动量时，斜面体必有水平向右的动量。

由于m ＜M ，则斜面体水平位移小于物块水平位移。

根据图3-2上关系可以确定支持力与物块位移夹角大于90°，则斜面对物块做负功。

应选B 。

2. 以20m/s 的初速度，从地面竖直向上势出一物体，它上升的最大高度是18m 。

如果物体在运动过程中所受阻力的大小不变，则物体在离地面多高处，物体的动能与重力势能相等。

(g=10m/s 2)【错解】以物体为研究对象，画出运动草图3-3，设物体上升到h 高处动能与重力势能相等此过程中，重力阻力做功，据动能定量有物体上升的最大高度为H 由式①，②，③解得h=9.5m【错解原因】初看似乎任何问题都没有，仔细审题，问物全体离地面多高处，物体动能与重力势相等一般人首先是将问题变形为上升过程中什么位置动能与重力势能相等。

而实际下落过程也有一处动能与重力势能相等。

【分析解答】上升过程中的解同错解。

设物体下落过程中经过距地面h′处动能等于重力势能，运动草图如3-4。

据动能定理解得h′=8.5m4. 如图3-13，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中( )A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒。

C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒 D．A球、B球和地球组成的系统机械不守恒【错解】B球下摆过程中受重力、杆的拉力作用。

拉力不做功，只有重力做功，所以B球重力势能减少，动能增加，机械能守恒，A正确。

同样道理A球机械能守恒，B错误，因为A，B系统外力只有重力做功，系统机械能守恒。

故C选项正确。

【错解原因】 B球摆到最低位置过程中，重力势能减少动能确实增加，但不能由此确定机械能守恒。

错解中认为杆施的力沿杆方向，这是造成错解的直接原因。

杆施力的方向并不总指向沿杆的方向，本题中就是如此。

杆对A，B球既有沿杆的法向力，也有与杆垂直的切向力。

所以杆对A，B球施的力都做功，A球、B球的机械能都不守恒。

但A+B整体机械能守恒。

【分析解答】B球从水平位置下摆到最低点过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力方向待定。

下摆过程中重力势能减少动能增加，但机械能是否守恒不确定。

A球在B下摆过程中，重力势能增加，动能增加，机械能增加。

由于A+B系统只有重力做功，系统机械能守恒，A球机械能增加，B球机械能定减少。