平边四边形知识点一．知识框架二.知识概念平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等,对角线互相平分。

平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

矩形是特殊的平行四边形。

矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

(矩形是轴对称图形，有两条对称轴)矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

S菱形＝1/２×ab(ａ、ｂ为两条对角线) 或底×高正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

(正方形是轴对称图形,有四条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形；对角线相等的菱形;梯形的定义:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。

ﻫ等腰梯形判定定理:同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

梯形常用辅助线：平行四边形的判定及性质巩固练习题１、如图，已知在四边形ABCD中,AD=BC，∠D=∠ＤＣE．求证:四边形AＢCD•是平行四边形．2、如图,在□AＢCD中,E、F分别是BＣ、AD上的点，且AE∥ＣF，ＡE与CF相等吗?说明理由．3、有一个四边形的四边长分别是ａ，b,c，ｄ，且有ａ2+b2+c2+d2＝2（ａｃ+ｂd）．求证：此四边形是平行四边形．4、□ABCD中,ＡＣ、BＤ交于点Ｏ,AE＝CＦ,求证：BE=DF5、(变式练习２）□ABＣD中,AC、BD交于点Ｏ,ＡE=CＦ,BM=ＤN求证:四边形MFNＥ是平行四边形6、 (变式练习3)如图，平行四边形ＡBCD中，E、Ｆ是ＡC上两点，且ＡE=CF，又点M、N分别在ＡB、CD 上，且MF∥ＥN，MN交ＡC 于O。

求证:EF与MN互相平分。

FEODACBNMFEOA7、(变式练习4）如图所示，□AＢＣＤ的对角线AC、BD交于Ｏ,EF过点O交AＤ于E,交BC于F，G是OＡ的中点，H是OＣ的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.８、(变式练习)□ＡBCD中,DE平分∠AＤＣ交BC的延长线于E,BＦ平分∠AＢＣ交AＢ的延长线于Ｆ,求证：四边形 DEBF是平行四边形９、(变式练习１)如图所示,平行四边形ＡBCD中，Ｍ、N分别为AD、、C Ｍ,且AN、BＭ交于点P,CM、DN交于点Q.四边形MGNＰ是平行四边形吗？为什么?10、（变式练习2)如图，E、F分别为口ABCD的边AD、BC的中点。

求证:(1）BE＝DF;（２）Ｏ为ＧH的中点。

１1、□AＢCD中，Ｅ在AB上,F在CD上，且AE=CＦ,M为DE中点，N为ＦB中点,求证：FM=ＮE ME=ＮFFECDBAB CFG HEONMD12、已知如图:在ABCD 中,延长ＡＢ到E ，延长CD 到F ，使B Ｅ=DF ， 则线段ＡC 与ＥF 是否互相平分？说明理由.１3、.如图所示,已知点D 是△ＡＢC 的边ＡB 上的中点,点E 是AC 上的一点,DF ∥ＢE,EF ∥AB,证明:ＡＥ、ＤF 互相平分14、如图，已知ＡD 是△ABC 的边ＢC 上的中线,△ＢＭE 是△AM Ｄ绕点M 按顺时针方向旋转１8０°得到的,连结AE,求证：DE=ＡC ．１5、如图,在□ABCD 中,∠DAB ＝60°,点E 、F 分别在C Ｄ、AB 的延长线上,且AE ＝AD ，CF=CB. 求证：四边形AFC Ｅ是平行四边形.16、如图所示，某城市部分街道示意图,AF ∥BC ，EC ⊥ＢC ，B Ａ∥ＤＥ，BD ∥A Ｅ，ＥF=FC,甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站,甲乘1路车，路线是B →A →E →F,乙乘2路,路线是B →Ｄ→C →F,假设两车速度相同,途中耽误时间相同,那么谁先到达Ｆ站,请说明理由.FD B C A EAD F C BE １7、在平行四边形ABCD 中，ＢＮ＝DM ，BE=DF ，求证:四边形MEN Ｆ是平行四边形． 18、如图，在ABCD 中,AB=２AD,延长ＡＤ到F,使DF ＝ＡD,再延长DA 到Ｅ,使A Ｅ=AD,求证:ＢF ⊥CE ．19、如图１9-１－30，分别以△AB Ｃ的三边为边长,在BC 的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE ，等边三角形ACF ，连接DE,EF 。

求证:四边形ＡDEF 是平行四边形。

2０、如图3,在ABC △中，D 是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点,CF BE ∥，连结BF CE ，,试判断四边形BECF 是何种特殊四边形,并说明理由。

２1、如图2,平行四边形ABCD 中，Ｅ、G 、F 、H 分别是四条边上的点，且AE =CF ,BG ＝DH ，试说明：EF 与G Ｈ相互平分.图3矩形拓展题1、如图,四边形AB ＣＤ的对角线互相平分，要使它成为矩形,那么需要添加的条件是( ） A.A Ｂ＝CD B.AD =ＢC C ．AB =B Ｃ Ｄ.AC =BD2、如图①,矩形ＡＢCD,A Ｂ=12ｃm,A Ｄ=16cm,现将其按下列步骤折叠:(1)将△B ＡD 对折，使AB 落在AD 上，得到折痕AF ，如图②(2）将△ＡＦB 沿BF 折叠,ＡF 与ＤＣ交点G ，如图③则所得梯形BDG Ｆ的周长等于( ）A ．12+２2 B.2４＋22 C.２4+42 D.１2+42① ② ③3、如图,边长为(m +３)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( ) A.2m +3 B ．２m ＋6 C ．m ＋３ﻩﻩﻩD ．m +64、如图，矩形AB ＣD 中,AB >A Ｄ，AB =a ,AN 平分∠DA Ｂ,DM ⊥AN 于 点Ｍ,CN ⊥ＡN 于点Ｎ.则D Ｍ+CN 的值为(用含ａ的代数式表示）( ) A ．a B.a 54C ．a 22 Ｄ． a 235、如图,已知矩形纸片ABCD ,点E 是AB 的中点,点G 是BC 上的一点,︒>∠60BEG ,现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为( )A.4 Ｂ. 3 C.2 Ｄ.1ABOC第1题(第3题)m +3m 3 a MD（第4题）A B C F E 'A 第11题图 （'B ） D 6、矩形纸片AB ＣＤ中，AB ＝３，ＡD ＝4,将纸片折叠,使点B 落在边CD 上的B ’处,折痕为A Ｅ．在折痕AＥ上存在一点Ｐ到边ＣD 的距离与到点B 的距离相等,则此相等距离为__＿＿____．７．小明尝试着将矩形纸片AB ＣD (如图①，AD ＞CD )沿过A 点的直线折叠,使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为A Ｅ（如图②）;再沿过Ｄ点的直线折叠，使得C 点落在D Ａ边上的点Ｎ处，Ｅ点落在ＡE 边上的点M 处,折痕为DG (如图③).如果第二次折叠后,M 点正好在∠N ＤG 的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为 .8、如右上图，将矩形ABCD 纸片沿ＥF 折叠，使Ｄ点与B Ｃ边的中点D’重合，若ＢC ＝８，CD=6，则ＣF=_____＿__。

9、如图2,在矩形AB ＣD 中，ＡD =４，ＤC ＝３，将△ADC 按逆时针方向绕点A 旋转到△ＡEF （点A 、B 、E 在同一直线上)，连结ＣF ，则ＣF = .10、如图矩形纸片AB ＣＤ,A Ｂ＝5c ｍ,BC ＝10cm,CD 上有一点E,ＥD=2cm,AD 上有一点P,P Ｄ=3cm,过Ｐ作ＰＦ⊥ＡＤ交ＢC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与ＰF 交于Ｑ点，则P Ｑ的长是_＿_＿____ｃm. １1、把一张矩形纸片(矩形A ＢCD ）按如图方式折叠，使顶点Ｂ和点D 重合,折痕为E Ｆ.若AB = ３ ｃm,BC = 5 ｃｍ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．1２、如图所示,已知平行四边形ABCD,ＡC 、BD 相交于点Ｏ，P 是平行四边形ＡBC Ｄ外一点,且∠APC ＝∠BPD ＝90°.求证：平行四边形ABCD 是矩形．ﻫ13、如图自矩形ＡBCD 的顶点C 作C Ｅ⊥BD ，Ｅ为垂足，延长C Ｅ至Ｆ,AB CDABDF①②BC G MN ③使C Ｆ=BD,连接AF,求∠BA Ｆ的大小菱形的性质及判定巩固练习题1、下列四边形中不一定为菱形的是（ ）A ．对角线相等的平行四边形 Ｂ．每条对角线平分一组对角的四边形 C ．对角线互相垂直的平行四边形 D ．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2 下列命题中错误．．的是 ( ) Ａ.平行四边形的对边相等 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｃ．矩形的对角线相等 D ．对角线相等的四边形是矩形 3 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为( ) ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A.①③ ﻩB.②③ ﻩC ．③④ﻩD.①②③4 菱形的周长为32c ｍ，一个内角的度数是6０°，则两条对角线的长分别是( )A.8ｃm 和ｍ B ．４cmcm C ．8cm 和Ｄ.４cm 和ｃm 5 如图,菱形A ＢCD 中,∠B=60°,AB=2,E 、F 分别是B Ｃ、C Ｄ的中点,连接AE 、EF 、A Ｆ，则△A ＥF 的周长为（ )A. 32 B ． 33 C ． 34 D ． 36 如右图,四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成立．．．的是（ ) A. DE DA = Ｂ． CE BD = C. 90=∠EAC ° Ｄ．E ABC ∠=∠27 如右图,在菱形ABCD 中,对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =,则菱形ABCD 的周长为（ ） A.16a ﻩＢ．12a ﻩC.8a ﻩﻩD.4a8、如图,菱形ABCD 中,AE 垂直平分BC ，垂足为E ,4cm AB =.那么，菱形ABCD 的面积是 ,对角线BD 的长是 ．９、已知菱形ABCD 的面积是212cm ，对角线4AC =ｃｍ，则菱形的边长是ABCDF ADE BCA BCDEOADEcｍ10、如图,矩形ABＣD中,AB＝2,BＣ＝3，对角线ＡC的垂直平分线分别交ＡD，BC于点E、F，连接ＣE，则CE的长__＿_＿__＿.1１、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2０0８厘米后停下,则这只蚂蚁停在点．12、如图,菱形ABCD中,O是对角线AC BD，的交点，5cmAB=,4cmAO=，则BD=ｃm.13、如图所示，已知□ABCD,AC，BＤ相交于点O,•添加一个条件使平行四边形为菱形,添加的条件为___＿___＿．(只写出符合要求的一个即可)1３题图14题图12题图14、如图所示，D，Ｅ,Ｆ分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DＥ∥AB,DＦ∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是＿_＿＿____．(只写出符合要求的一个即可)1５、菱形ABCD的周长为４8ｃｍ，∠ＢAD：•∠AＢＣ=•１:•2，•则ＢD=•_____,•菱形的面积是____ ＿_.１6、在菱形ABＣD中，AB=４,ＡB边上的高DE垂直平分边AB,则BＤ=____＿,AC＝_____.17、如图,四边形ＡＢＣＤ是菱形，DＥ⊥AB交BA的延长线于Ｅ，DF⊥BC，交BC的延长线于F。