初二下学期数学期末复习【复习内容】第十六章 二次根式 第十七章 勾股定理 第十八章 平行四边形 第二十章 数据的分析 第二十一章 一元二次方程 第二十三章 旋转 第二十六章 反比例函数【复习建议】1. 合理安排复习时间，制定好复习计划，根据学生特点、实际情况开展复习；2. 对每章的概念、知识点进行系统化、条理化的梳理，同时加强整个学期知识的关联，使学生查漏补缺，掌握基础知识和基本方法；3. 带着学生一起总结解题方法，从审题、观察、识图，到易错点的归纳，再到解题技巧，达到夯实基础、掌握基本方法的目的；在综合题中渗透综合分析法，进而提高学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力；4. 渗透方程与函数、转化与化归、分类与整合、数形结合等数学思想方法；5. 在综合练习讲评时，教学生一些考试策略和做题心理指导，提升学生的应试能力.【具体内容】第十六章 二次根式一、二次根式概念、有意义的条件1、二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式.2、二次根式的主要性质：（a 0）； (2)2= (0)a ≥；= ； (4)若0≥>b a .例1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)12-x x ； （2）2+x －x 23-； （3）x -－11+x ； （4）2||12--x x .例2.比较大小：(1)3；(2)34；(3)-6． 例3.（1）实数a 在数轴上的位置如图所示:化简:1______a -=.（2）若23x <<,的值为 . （3）若-3≤x ≤2时, 试化简│x -. 二、二次根式的运算)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；)0,0_____(>≥=b a ba ；加减法步骤：①将每个二次根式化为_______________；②______同类二次根式. 例4. 下列各式中，最简二次根式是( )． (A)yx -1(B)ba (C)42+x(D)b a 25例5. 计算：（1 （2）3241182182-+（3） （4）)272(43)32(21--+ （5）0(π1)1+- （6)1+ （7）6813222124--+-（8 （9）2)1812(-; （10）533103÷（11）3222351345⨯÷ （12）1920)625()625(+- （13）)4323(4819-÷- （142(2(7+ （15）ax x a x 45+- （16）a b b a ab b 31)23(235÷-⋅ （17） 4832714122+-（18）)93()24(3ab ab a b a a b a b+-+ 例6． 已知:a ＝2, b ＝2, 试求a bb a -的值．例7．先化简, 再求值:（64, 其中x =, y =27．*例8．在实数范围内分解因式：（1）44-x （2）3322+-x x第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的概念：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程，叫做一元二次方程，它的一般形式为()200ax bx c a ++=≠．例1. （1）当m = 时，关于x 的方程m x m xm m 4)3()2(2=+--是一元二次方程.（2）关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a . （3）已知a 方程04322=-+x x 的一个根，则代数式a a 322+的值等于 . 小结：要注意二次项的系数不为0． 二、一元二次方程的解法基本思想：降次，即将“二次”转化为“一次”来达到求解目的． 基本解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 例2. 选择适当的方法解下列方程：（1）2410x x -+=； （2）22520x x -+=； （3）(1)x x x -=；（4）()()7343x x x -=-； （5）()226952x x x -+=-； （6）()()3622x x +-=-．（7）1)5(2)5(2--=-x x ； （8）222(3)2(3)80x x x x +-+-= 注意：要关注如何选择方法，小结选择的原则及注意事项. 练习：解下列方程：（1）2315x x x -=- （2）()272169x -= （3）()23248x -=32（4）2430x x --= （5）2640x x -+= （6）2670x x ++=（7）2560x x +-= （8）22730x x -+= （9）2104x --=（10）23640x x --= （11）2540x -+= （12）20x x +=（13）()()220x x x -+-= （14）()32142x x x +=+ （1520-=（16）()()224520x x ---= （17）()()21210x x ---= （18）22630x x ++=（19）()328t t -= （20）()()1315x x ++= （21）()339x x x -=- （22）()21250x x -+-= （23）()()22122130x x ----=（24）06)3()3(222=-+-+x x x x （25）22300x -=（26）24530x x --= *（27）2330x x ---=； *（28）222232x xx x -+=-.例3. 解下列关于x 的方程：（1）()()()213201m x m x m -+--=≠； （2）2243210x ax a a -++-=；（3）22220x ax a b -+-=； （4）0)2(2=--++a x a x a x ；（5）2(3)3=0mx m x +-- ()0m ≠； （6）()()2223340x m x m m -+++-=； （7）()0065622≠=-+m mx x m （8） 222()()(1).x a b x a b -=-≠（9）)0(031120222≠=-+m n mnx x m （10） x a x a x x a )1()1()1(2222-=--+-.建议：（1）通法：利用公式法计算；学有余力的尝试利用十字相乘法进行因式分解； （2）可以去掉二次项系数不为0的条件，培养学生分类讨论的意识. 三、一元二次方程根的判别式 1． 用判别式判定方程根的情况：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式：b 2－4ac ． 当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根． 上述结论，反过来也成立．2．常见的问题类型：（1）利用判别式，不解方程，判别一元二次方程根的情况； （2）应用判别式，证明一元二次方程根的情况；（3）已知一元二次方程的根的情况，由根的判别式确定方程中字母的取值范围；（4）分类讨论思想的应用：若方程给出时未指明是二次方程，后面也未指明方程有两个根，则一定要对方程进行分类讨论，如果二次项系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，方程是一元二次方程，可能会有两个实数根或无实数根； （5）一元二次方程根的判别式与整数解的综合. 例4.不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）22310x x -+=； （2）2570x x -+=； （3）2102x +=；()24210x kx k ++-=. 例5.已知关于x 的方程()2110m x x --+=，（1）当方程有两个相等的实数根时，求m 的值； （2）当方程有两个不相等的实数根时，求m 的取值范围； （3）此方程有实数根，求m 的取值范围.例6. （1）关于x 的方程()2340x m x m --+-=，求证：无论m 取实数值，此方程都有两个实数根．（2）若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实数根，求正整数a 的值．（3）已知方程x 2＋2x －m ＋1=0没有实根，求证：方程x 2＋mx =1－2m 一定有两个不相等的实数根．例7.已知关于x 的方程()232220mx m x m -+++=. （1） 求证：无论m 取何值，原方程恒有实数根； （2） 若方程有两个异号实数根，求m 的取值范围.例8.已知关于x 的一元二次方程04)15(22=+++-m m x m x .(1) 求证：无论m 取何值时，原方程总有两个实数根.(2) 原方程的两个实数根一个大于3，一个小于8，求m 的取值范围. 四、整数根问题例9. 已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++=有两个不相等的正整数根，且m 为整数，求m 的值.例10. 设m 为整数，且440m <<，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根． 练习：1、已知关于x 的方程2(2)20(0)mx m x m -++=≠.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值. 2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值. 五、一元二次方程的应用 （1）数字问题；（2）几何面积问题；（动点问题）（3）增长率问题（下降率）：用公式b x a n=+)1(（尤其要注意看清题目中说的是第n 年，还是前n 年）（4）其它实际问题：利润问题等（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去） 例10．三个连续奇数的平方和为251，求这三个数．例11. 在场地的北面有一堵50米的旧墙，现想用100米长的篱笆材料围成一矩形仓库．要求面积为600平方米，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？例12．某工厂一月份产量是5万元，三月份的产值是11.25万元，求二、三月份的月平均增长率．例13. 某商场销售一批衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，增加盈利，减少库存，商场决定采用降价措施，经调查发现，如果每件衬衫的售价降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？例14．如图，Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝8m ，BC ＝6m ．P 、Q 分别在AC 、BC 边上，同时由A 、B 两点出发，分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/秒，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半？ 例15. 如图．△ABC 中AB =6cm ，BC =4cm ，∠B =60°，动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发．分别沿AB 、BC 方向匀速移动；它们的速度分别为2cm/s 和1cm/s ．当点P 到达点B 时．P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．当t 为何值时，△PBQ 为直角三角形．第二十六章 反比例函数一、知识要点：1. 定义：形如 的函数叫做反比例函数. 3. k 的几何意义二、典型例题1. 下列函数中，哪些是反比例函数？（1）y =x 8； （2）y =841+x ； （3）y =18--x ； （4）xy =23； （5）y =821++x . 2. （1）已知y 与x 成反比例，并且当x ＝2时，y ＝－1，则当y ＝21时x 的值是_________．(2) 若2-y 与3-x 成反比例，当2=x 时，1-=y ，则与x 之间的函数关系是 ． (3) 已知y = y 1 +y 2，而y 1与x +1成反比例，y 2与成正比例，并且x =1时，y =2；x =0时，y =2，则y 与x 的函数关系式为 ． 3. 已知反比例函数1y x =图象过点P （m ，n ），则化简11m n m n ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的结果正确的是( ) A ．2m 2 B ．2n 2 C ．n 2-m 2 D ．m 2-n 24. 在函数y =x 2-的图象上有三点（－1，y 1），（41-，y 2），（21，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是______. 5. 函数a ax y -=与ay =在同一条直角坐标系中的图象可能是（ ）y x 26. 作反比例函数4y x=的图象，并根据图象解答下列问题： （1）当4x =时，求y 的值； （2）当2y =-时，求x 的值；（3）当14x <≤时，求y 的取值范围； （4）当2y >时，求x 的取值范围； （5）当1x >-时，求y 的取值范围. 7.（1）直线2y x =与双曲线8y x=有一个交点是2,4（），则它们的另一个交点是 . （2）函数y =x2和y =－x +4的图象的交点在第_________象限． 拓展思考：（1）在同一平面直角坐标系下，正比例函数与反比例函数的图象可能有几个交点？ 0或2个 （2）在同一个平面直角坐标系下，直线与双曲线可能有几个公共点？ 0个（相离）；1个（相切或相交）；2个（相交一支或两支） （3）如何求交点坐标.8. ①如图，A ,C 分别是反比例函数y ＝x1图象上两点. 若Rt △AOB 与Rt △COD 的面积分别为S 1,S 2，则S 1与S 2的大小关系是( )A.S 1>S 2B.S 1=S 2；C.S 1<S 2D.不能确定 ②如图，A,B 是函数y ＝x1的图像上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，设三角形ABC 面积为S ，则( )A.S ＝1B.1＜S ＜2 C .S ＝2D .S ＞2第①题 第②题 第③题 ③如图，A,B 是函数y ＝x1的图像上关于原点O 对称的任意两点，AP 平行于y 轴，交x 轴于点P ，BH 平行于y 轴，交x 轴于点H ，证明四边形AHBP 面积为定值.OA B Cxyy =x ④如图，P 是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF 的面积为3，则反比例函数的解析式是______． ⑤如图，是反比例函数y =x k 1和y =xk2（k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点， 若S △AOB =2，则k 2﹣k 1的值是（ ）A ．1 B. 2 C. 4D.8第④题 第⑤题 第9题9. 如图所示，已知菱形OABC ，点C 在x 轴上，直线y=x 经过点A ，菱形OABC 的面积是2.若反比例函数的图象经过点B ，则此反比例函数表达式为（ ） 122121. . . .A y B y C y D y x ++====10. 已知(4,),(2,4)A n B --是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标和△AOB 的面积； （3）求方程0mkx b x+-=的解（直接写结果）； （4）求不等式0mkx b x+-<的解（直接写结果）. 11. 已知y 1是正比例函数，y 2是反比例函数，并且当自变量取1时，y 1=y 2；当自变量取2时，y 1－y 2=9，求y 1和y 2的解析式．12.在压力不变的情况下,某物体承受的压强P (Pa)是它的受力面积S (2m )的反比例函数,其图象如图所示: (1)求p 与S 之间的函数关系式;(2)求当S ＝0.52m 时物体承受的压强p ; (3)求当P ＝2500Pa 时物体的受力面积S .13. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x (元)与日销售量y (个)之间有如下关系：x （元）3456 …（m 2）pS O0.10.20.30.41000200030004000（Pa ）A(0.25，1000)y （个） 20 15 12 10 …（1）猜想并确定在赢利的条件下y 与x 之间的函数关系式.（2）设经营此贺卡的销售利润为W 元，试求出W 与x 之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价最高不能超过10元，请你求出当销售单价x 定为多少时，才能使获利最大？ 提高练习：1. 如图，直线y =k 1x +b 与双曲线y=交于A 、B 两点，其横坐标 分别为1和5，则不等式k 1x ＜+b 的解集是 .2. 如图，已知双曲线ky x=，经过点D （6，1），点C 是双曲线 第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足 分别为A 、B ，连接AB 、BC ． （1）求k 的值；（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．3. 如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1y x=图像上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 ；当线段AP 与线段BP 之和达到最小时，点P 的坐标是 .第3题 第5题4. 如图，A 、B 是双曲线 y = kx (k >0) 上的点， A 、B 横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k= .5. 如图，点A 在双曲线y ＝ kx 的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴于B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE =3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为 ．第二十章 数据的分析一、数据的代表 1.平均数2k x2k x5oyxBA1yxOB CA（1） 求1x 、2x 、…、n x 的算术平均数，x = .※如果这n 个数都比较大，并且又都在同一个数a 附近波动的话，那么我们可以这样计算：a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='，求nx x x x n ''''21+++=Λ，则x = .（2） 若n 个数1x 、2x 、…、n x 的权分别是1w 、2w 、…、n w ，则这n 个数的加权平均数是 .数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. 2.中位数和众数 （1）中位数求法：将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则 就是这组数据的中位数．注意：当数据个数是偶数时，中位数可能并不是这组数据中的某个数． （2）众数定义：在一组数据中 的数叫做这组数据的众数．众数求法：先数出每个数据出现的频数，再找到频数最高的数据（可能不止一个）． 二、数据的波动方差定义：设有n 个数据1x 、2x 、…、n x ，它们的平均数为x , 即用2S = 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．方差越大，数据的波动 ；方差越小，数据的波动 . 【习题】 一．选择题1．已知一组数据1，2，4，3，x 的众数是2，则这组数据的中位数是（ ） A ．2B ．2.5C ．3D ．42．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况 绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体 育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A ．16，10.5 B ．8，9C ．16，8.5D ．8，8.53．李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如下：阅读时间（小时） 2 2.5 3 3.5 4 学生人数（名）12863则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（ ）A．众数是8 B．中位数是3 C．平均数是3 D．方差是0.344.年龄（单位：岁）13 14 15 16频数（单位：名） 5 15 x 10-x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．平均数、方差C．众数、中位数D．众数、方差5．如果给一组数据的每一个数都加上同一个不等于零的常数，则（）A．平均数、方差都不变B．平均数、方差都改变C．平均数改变，方差不变D．平均数不变，方差改变6.班级参加人数中位数方差平均数甲55 149 191 135乙55 151 110 135某同学分析上表后得出如下结论：（1）甲、乙两班学生成绩平均水平相同；（2）乙班优秀人数比甲班优秀人数多(每分钟输入汉字 150个位优秀)；（3）甲班成绩的稳定性比乙班高上面三个结论中，正确的有（）A．（1）（2）（3）；B．（1）（2）；C．（1）（3）；D．（2）（3）二．填空题7．一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数是．8．在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是．9．有甲、乙两段高度相等的山坡，分别修建了阶数相同的两段台阶．甲段台阶各级台阶高度的方差s甲2=4.6，乙段台阶各级台阶高度的方差s乙2=2.2，当每级台阶高度接近时走起来比较舒适，则甲、乙两段台阶走起来更舒适的是（填“甲”或“乙”）．10．某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图．请你根据统计图给出的信息回答：（1）填写完成下表：年收入（万元）0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7 家庭户数这20个家庭的年平均收入为______万元；（2） 样本中的中位数是______万元，众数是______万元；（3） 在平均数、中位数两数中，______更能反映这个地区家庭的年收入水平．11．已知一个样本的方差])205()205()205[(121222212-++-+-=x x x nS Λ, 则此样本的平均数是 ，样本容量是 . 三．解答题12．某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料． 月收入/元 45000 18000 10000 5500 4800 3400 3000 2200 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 （1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元．（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．13．某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．（1）求出下列成绩统计分析表中a ，b 的值：组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 6.8 a 3.76 90% 30% 乙组 b 7.5 1.96 80% 20%（2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生；（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由．14．某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下： 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：40≤x ≤49 50≤x ≤59 60≤x ≤69 70≤x ≤79 80≤x ≤89 90≤x ≤100 甲 0 0 1 11 7 1 乙（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79分为生产技能良好，60﹣﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：部门平均数中位数众数甲78.3 77.5 75乙78 80.5 81得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为；b．可以推断出部门员工的生产技能水平较高，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）15．YC市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行，由于投入数量不够，导致出现需要租用却未租到车的现象，现将随机抽取的某五天在同一时段的调查数据汇成如下表格．时间第一天7：00﹣8：00第二天7：00﹣8：00第三天7：00﹣8：00第四天7：00﹣8：00第五天7：00﹣8：00需要租用自行车却未租到车的人数（人）1500 1200 1300 1300 1200 请回答下列问题：（1）表格中的五个数据（人数）的中位数是多少？（2）由随机抽样估计，平均每天在7：00﹣8：00需要租用公共自行车的人数是多少？第十七章勾股定理一、知识点1. 勾股定理（1）勾股定理：______________________________________符号：∵△ABC中，∠____=____°∴．（2）勾股定理的常见证明方法（勾股拼图）2. 勾股定理的逆定理（1）勾股定理逆定理：_______________________________．符号：∵△ABC中，，∴∠____=____°（2）直角三角形的判定①有_______________的三角形是直角三角形②若______________________，则这个三角形是直角三角形。