平面几何初步课程要求1.直线与方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.2.圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.考情分析平面解析几何是高中数学的一个基本知识点，我们学习它是为了后面学习空间几何和圆锥曲线打基础。

但平面几何作为一个考点，还是会在选择题或填空题中出现一道，而且难度适中。

为了拿到这5分，并且为后面的解答题做准备，我们需要牢牢掌握这部分基础知识。

知识梳理1一、 直线与方程1. 直线的倾斜角和斜率：倾斜角： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

斜率反映直线与轴的倾斜程度 斜率的公式：给定两点()()y x p y x P ,,222111,，xx 21≠，则直线PP 21的斜率k =xx y y 2121--平行与垂直：两条直线ll 21,，他们的斜率分别为k k 2,1k k ll 2121,//=⇔ 12121-=•⇔⊥k k ll2. 直线的方程点斜式：直线l 过点()y x p 0,，且斜率为k,那么直线方程为:()x yx k y 00-=-斜截式：直线l 斜率为k ，且与y 轴交点为（0，b ）, 那么直线方程为: y=kx+b 两点式：直线l 过点()，y x p 111,()y x p 222,，其中xx 21≠，yy 21≠，那么直线方程为x x x yy yx y 121121--=--直线的一般方程：0=++C By Ax ，（A ，B 不同是为0） 3.两点间的距离()()y y x x 21212221PP --+=4.点到直线的距离点()y x p 0,到直线l ：0=++C By Ax 的距离为：B2200+++=A y x CB A d5. 两条平行线间的距离 已知两条平行线0:,0:C 2211=++=++By Ax By Ax lC l ，则l l 21与的距离为BA C C d 2221+-=二、 圆与方程1.圆的定义（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. （2）确定一个圆的要素是圆心和半径. 2.圆的方程（1）圆的标准方程： 222()()x a y b r -+-=，其中圆心为A(a,b),半径为r ； （2）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->注：上述方程配方得：22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.求圆的方程的一般步骤为：（1） 根据题意选择标准方程或者一般方程；（2） 根据条件列出关于,,a b r 或者,,D E F 的方程组； （3） 解出,,a b r 或者,,D E F 代入标准方程或者一般方程. 4.点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系：（1）若2200()()x a y b -+->2r 则点M 在圆外；（2）若22200()()x a y b r -+-=，则点M 在圆上； （3）若2200()()x a y b -+-<2r ，则点M 在圆内.5.直线l ：0Ax By C ++=与圆 222()()x a y b r -+-=的位置关系： （1）若圆心A 到直线l的距离d r =>，则直线与圆相离；（2）若圆心A 到直线l的距离d r =<，则直线与圆相交；（3）若圆心A 到直线l的距离d r ==，则直线与圆相切；6.圆与圆的位置关系：设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以 下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；注：当圆()()2221111:C x a y b r -+-=与圆()()2222222:C x a y b r -+-=相交与A 、B 两点时，上述方程相减即得直线AB 方程.题型分类1. 求直线的方程：例. 如图所示，已知两条直线l 1：x －3y ＋12＝0，l 2：3x ＋y －4＝0，过定点P （－1，2作一条直线l ，分别与直线l 1、l 2 交于M 、N 两点，若点P 恰好是MN 的中点，求直线l 的方程。

解析：解法一 设所求直线l 的方程为y k x =++()12，由y k x x y =++-+=⎧⎨⎩()123120得交点M 的横坐标为x k k M =--3613， 由y k x x y =+++-=⎧⎨⎩()12340得交点N 的横坐标为x kk N =-+23， ∵点P 恰好是MN 的中点，∴3613232k k k k --+-+=，解得k =-12。

∴所求直线l 的方程为x y +-=230。

解法二 以∆∆yx 确定斜率k ，如图所示，设M x y N x y ()()-++---1212∆∆∆∆，，则，∴()()()()-+-++=--+--=⎧⎨⎩132********∆∆∆∆x y x y ∴∆∆∆∆x y x y -+=++=⎧⎨⎩350350，∴240∆∆x y +=，∴k y x ==-∆∆12，∴所求直线l 的方程为x y +-=230。

解法三 求M 、N 中的一点，运用“两点确定一条直线”求l 的方程。

如图所示，设M x y N x y ()()，，，---24∴x y x y -+=--+--=⎧⎨⎩312032440()() 即x y x y -+=++=⎧⎨⎩3120360解得x y =-=⎧⎨⎩33，即M （－3，3）∴直线MN 的斜率为k MN =--+=-323112∴所求直线l 的方程为x y +-=230。

点评：解法一、解法二都是求斜率k ，显然解法二中引入中点坐标的增量△x 、△y ，建立关于△x ，△y ，k 的三个方程构成的方程组，消去△x 、△y ，很快就求出了k ，△x 、△y 在此扮演了参数的角色，可以看成是解法三的演变。

不同的解题方法就是对同一个题目的不同角度的理解，通过对同一个题目的多种解法的研究，不仅有利于提高解题能力，也有利于提高对数学问题和数学概念、思想的理解深度。

从而提高数学素质。

2. 求圆的方程例. 圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程。

解析：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x y -=30上，故设 圆方程为()()x b y b b -+-=39222又因为直线y x =截圆得弦长为27则有(||)()3279222b b b -+=解得b ＝±1。

故所求圆方程为()()x y -+-=31922或()()x y +++=31922。

点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点： （1）确定圆方程首先明确标准方程还是一般方程。

（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得 a , b , r 或 D , E , F 。

（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的数。

3.直线与圆例. 已知圆C ：()()x y -+-=122522，直线l ：()()21174m x m y m +++--＝0（m R ∈）。

（1）证明：无论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程。

解析：（1）直线l 的方程化为：()()x y m x y +-++-=4270。

因此，直线l 过两条直线x y +-=40和270x y +-=的交点，联立这两条直线的方程中解得交点为A （3，1），即直线l 恒过定点A （3，1）。

又因||()()AC 2223112525=-+-=<， 故点A （3，1）在圆C 的内部，直线l 与圆C 恒交于两点；（2）圆心为C （1，2），当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，有l ⊥AC ，由k AC =-12可得k 12=，因此直线l 的方程为y x x y -=---=123250()，即。

点评：本题（1）的常规解法是联立直线与圆的方程，证明方程组一定有解，或证明圆心到直线的距离小于圆的半径；（2）的常规解法是联立方程运用弦长公式讨论何时取得最小值。

这些做法的过程都非常复杂。

因此，在解直线与圆的位置关系的问题时一定要充分利用圆的几何性质，以便尽快找到简洁的解法，使问题的解决事半功倍。

专项训练例1. 自点 A （－3,3）发出的光线l 射到x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线 l 所在直线的方程。

解析：圆x y x y 224470+--+=的方程可化为()()x y -+-=22122， 由光学原理可知，圆关于x 轴的对称圆必与l 相切，对称圆方程为()()x y -++=22122设l 的斜率为k （k 必然存在）。

则l 的方程y k x -=+33()， 即kx y k -++=330由于l 与圆相切，故||2233112k k k ++++=解得k k =-=-3443或 故所求直线l 的方程为3430x y +-=或4330x y ++=。

点评：求入射光线的方程可从反射光线的对称入手；反之，将入射光线上的点通过反射面对称后有助于求反射光线的方程。

单纯从求反射线（入射线）角度看也可利用入射角等于反射角的方法，确定反射线（入射线）的斜率。

由此可以看出确定直线的方程，要充分挖掘所求直线已具备的几何（物理）特性，从而转化到斜率或点上去。

例2. 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：（a －1）x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的 a , b 的值。