111
精品课件
开篇：
❖ 微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成 果之一。它外于自然科学与人文科学之间的地 位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具。 遗憾的是，微积分的数学方法有时流于机械， 不能体现出这门学科乃是撼人心灵的智力奋斗 的结晶；这种奋斗已经经历了两千五百多年之 久，它深深根扎于人类活动的许多领域，并且， 只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止， 这种奋斗就将继续不已。
12.2.2费马求极大极小值的方法
属于微分方法的第一个真正值得注意的 先驱工作是1629年费马给出的，他的方 法如下：
设f(x)在x处有极大值或极小值，并设e是 一个很小的量，那么f(x+e)的值几乎等于 f(x)的值。因此我们可以先假定它们相等 f(x+e)=f(x)，然后让e等于0，等式仍相等， 消去e，得一方程，这个方程的根就是使 f(x)取极大值或精极品课小件 值的x.
12.2.1费马以前的工作
从一般意义上讨论曲线的切线问题由 法国数学罗贝瓦尔（G.P.de Roberval 1602-1675）
他认为，曲线是由运动的点生成，点 的运动又可以分解成两个已知的运动。 两个已知的运动的速度向量给出曲线 的切线。如：抛物线的切线。（离开 准线和离开焦点运动的和力）
意大利物理学家精品课和件 数学家托里拆利
之比也是b / a。
椭圆面积=b / a圆面积=b /（a a2） ab
这是刻卜勒求椭圆面积的方法。
精品课件
12.1.3不可分素方法：
例 求半径为r的球的体积。
r1
O'
A
L
OR
O' r2 B L
O
两个截面面积都是（r2 L2)，根据卡瓦列里原理，两个
立体体积相等。有
圆体积=2(圆柱体积-圆锥体积）=2（ r3 r3 / 3) 4 r3 / 3.
12.1.3不可分素方法：
第一个推广阿基米德方法的是德国的天文学家 和数学家刻卜勒（Johann Kepler1571-1630)他 在1615年写了《酒桶的新立体几何》，书中包 含了用无穷小元素法求面积和求体积的许多问 题，其中有87种新的旋转体的体积。刻卜勒工 作的直接继承者是卡瓦列里（B.Cavalieri15981647),他在1635年发表了专著《不可分素几何 学》
精品课件
12.1.4刘徽的贡献：
刘徽（约225-
295），中国数学
史上伟大的数学家，
活动于魏晋年间。
中国古典数学理论
的奠基者之一。他
的杰作《九章算术
注》和《海岛算经》
是我国最可宝贵的
数学遗产。
精品课件
12.1.4刘徽的贡献：
刘徽对积分学的贡献主要有两点： 1）他创造性地运用极限思想证明了求 圆面积公式和给出了计算圆周率的方法。 他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正 六边形开始割圆，依次得正12边形、正 24边形……，割得越细，正多边形面积 和圆面积之差越小，用他的原话说是 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆周合体而无所失 矣。” 他得到的圆周率为 3927/1250=3.1416精。品课他件 提出的计算圆周
12.1.5祖暅原理：
“祖暅原理”也即卡瓦列里原理，但 比卡瓦列里早了一千年。根据“祖
暅原理”可将“牟合方盖”的体积
化成一个正方体和一个四棱锥的体
积之差。由此求出“牟合方盖”的
体积2d等3 /于3 球的
。并由此得到求的
体积 V 2 d3 * 1 d3
3 46 精品课件
。
图12-8
祖暅原理动画演示
12.2.3费马求切线的方法
费马还创造了求切线的方法，他的方法 是先求该点的次切线，次切线指的是x 轴上两点间的一y 个线段PA。 C
(x, y) e k ED
图12-10
t
oP 精品课件
A eB x
12.2.3费马求切线的方法
K/e=y/t k+y=y(1+e/t) C点坐标为（x+e, y(1+e/t) )
P (x, y)
a eR
NM x
12.2.5巴罗的贡献
求f(x,y)=0在点P(x,y)处的切线，只要确 定T的位置。作三角形PQR,当e很小时，三 角形PQR相似于三角形PTM。从而 TM/PM=e/a TM=e*y/a
OT=OM-TM=OM-PM*QR/RP=x-e*y/a
例：y x2 y a (x e)2 y a x2 2yxe e2
（x e)3 ( y a)3 r3
即 x3 3x2e 3xe2 e3 y3 3y2a 3ya2 a3 r3
让e和a的高次幂都为0，并利用x3 y3 r3，上式
化为
a e
x2 y2
即可求出切线OT x e y x y3 。
a
x2
精品课件
12.2.5巴罗的贡献
巴罗求切线的方法非常接近我们在微 积分中所用的方法，字母e和a相当于 我们的符号dx和dy，而费马只用了一 个无穷小量e。而且，巴罗的方法非 常适合隐函数。
12.1.5祖暅原理：
祖暅，字景烁，南北朝时南朝著名 数学家和天文学家。著名数学家祖 冲之之子。《缀术》就是他们父子 共同完成的数学杰作。
在推导“牟合方盖”体积的过程中， 祖暅提出了“幂势既同，则积不容 异”的原理，后来被称为“祖暅原 理”。 用现代语言来说即“若两立 体在等高处具有精品相课件同的截面面积，
雾中摸索前进，并且如何零零碎碎地得到他们
的成果，应能使搞研究工作的任一新手鼓起勇
气。
3
M.克莱因
精品课件
开篇：
学习微积分概念的发展将使我们受益良多。 微积分的创立是为了解决以下四类问题：
运动问题 切线问题 极值问题 求积问题
4
精品课件
§ 12.1积分学的早期史：
12.1.1欧多克索斯的穷竭法 古希腊巧辩家安提丰(约公元前500年)提出圆 面积由内接多边形逼近。 欧多克索斯(Eudoxus公元前400-公元前350年) 假定量是无限可分的，并以下述命题为基础：
3
精品课件
A
T
N
xr xr
B
r2 ( x r)2
2xr x
S
图12-2
精品课件
命题2的证明
利用杠杆平衡原理证明球体积=4/3 r3
把球的直径放在x轴上，同时用2r * r的矩形和底和高 都为2r的三角形绕x轴旋转，得到一个圆柱体和一个 圆锥体。然后从这三个立体上切下与N的距离为x ，厚 为x的竖立的薄片，这些薄片的体积近似为
但是，巴罗的方法没有极限的概念， 逻辑上也不够严密。巴罗在微分和积 分上都取得了进展，应该说，他已经 走到了微积分基本定理的大门口。
精品课件
12.2.6微积分前期史小结
在前人一系列工作的基础上，在积分学和微 分学中都得到了大量的结果。如在积分学中关于 求面积、体积、弧长、曲面面积及质心定位的结 果；在微分学中，费马给出了一个统一的无穷小 方法，用以解决求最大、最小值问题和作曲线的 切线问题。
费马的贡献在于他精第品课一件 次采用了相当于今天的定
12.2.5巴罗的贡献
巴罗的方法
巴罗（1630-
1677），1630年
y
生于伦敦，毕业于
剑桥大学。他在物
Q
理、数学、天文和
神学方面都有造诣。
1673年被任命为剑
桥三一学院院长。 O T 主要著作是《光学
和几何学讲义》，
1677年逝世于剑桥精。品课件
精品课件
§ 12.2微分学的早期史：
积分学的历史比较长，相对来讲微分学要 短一些。 在17世纪，数学家伽利略和刻卜勒的一系 列发现，导致数学从古典数学向现代数学 的转折。 ❖伽利略发现了许多有关物体在地球引力 场中运动的基本事实。 ❖刻卜勒在1691年前后归纳出著名的行星 运动三定律。 微分学主要来源于精两品课件个问题的研究：一个
[（2xr-x2）x x2x]2r=4 xr2x
恰好为圆柱体割出的薄片处于原来位置时绕N的力矩的四倍。 把所有这样割出的薄片绕N的力矩加在一起，得到 2r（球的体积+圆锥的体积）=4r（圆柱的体积）
即 2r（球的体积+8 r3/3）=4r*2r* r2=8r4 即得：球的体积=4 r3/3
精品课件
ED
图12-10
精品课件
oP
t A eB x
12.2.4费马在积分学方面的贡献
费马给出了卡瓦列里法则的几种证明。在1644 年前，他也发现了关于分数幂的“抛物线” am yn bn xm 的求面积，体积及其重心的方法。
在费马求面积过程中，看到了定积分概念与运 算的大部分的主要内容。他把曲线的面积分割 为小的面积元素，利用矩形和曲线的解析方程， 求出这些和的近似值，以及在元素个数无限增 加，每个元素面积无限小时，将表达式表示为 和式极限的方式。
a xmdx
1
am1
0
m 1
精品课件
12.1.3不可分素方法：
例 求椭圆的体积。
x2 y2 a2 x2 y2 1 a2 b2
从图形中可得对于圆有y a2 x2
对于椭圆有
y
b a
a2 x2
即椭圆和圆的纵坐标之比是b / a。所以
椭圆和圆的响应的弦之比也是b / a。因
此，根据卡瓦列里原理椭圆和圆的面积
除了牛顿和爱因斯坦， 再没有一个人象阿基米德那 样为人类的进步做出过这样 大的贡献。即使牛顿和爱因 斯坦也都曾从他身上汲取过 智慧和灵感。他是“理论天 才与实验天才合于一人的理 想化身”，文艺复兴时期的 达芬奇和伽利略等人精品都课件拿他
12.1.2阿基米德的平衡法：
在阿基米德《论球和柱体》一书中，第一次出 现了球和球冠的表面积，球和球缺的体积的正 确公式。 ❖命题１ 圆面积是圆周长与其半径之积的一 半． ❖命题２ 半径为r的球的体积是 v 4 r3