2
1 1 T (i, j ) T (i, j ) T (i, j 1) 2T (i, j ) T (i, j 1) T 2 2 2 y y y y 2
2
差分格式的物理意义
y
dT dx T(x+dx)-T(x) dx
1.差分方程的建立
合理选择网格布局及步长 将离散后各相邻离散点之间的距离，或者离散 化单元的长度称为步长。
y
(i,j+1)
dy
(i-1,j) (i,j)
(i+1,j)
(i,j-1)
dx x
将微分方程转化为差分方程
向前差分
T T (i 1, j ) T (i, j ) x x
a11 a Ab 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n b1 a 2 n b2 a nn bn
A为n×n阶矩阵，b为n维向量，x为n维未知列向量，Ab为A 的增广矩阵。
a11 x1 a12 x2 a1n xn a1,n1 a21 x1 a22 x2 a 2 n xn a 2,n1 an1 x1 a n 2 x2 ann xn an ,n1
1 Ti 1 Ti Ti Ti 1 dT 1 d 3T x 3 x 2 2 x x dx 3! dx


2.差分方程的求解方法
直接法－Gauss列主元素消元法
Ax b
a11 a A 21 a n1 a12 a 22 an2 a1n x1 b1 x b a2n 2 ai , j nn , x , b 2 xn bn a nn
a11 x1 a12 x2 a1n xn a1,n1
(1 ( ( ) a22) x2 a21) xn a21n1 n ,

( (1 ( ) an1) x2 ann) xn an1n1 2 ,
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a1n x n a1,n 1
(k )
将收敛于方程组的精确解X 。一般满足
*
即可认为迭代已经满足精度要求。其中c为某适当小的量，其具体 大小取决于精度要求。
3.差分格式的稳定性
稳定性：假如初始条件和边界条件有微小的变化，
若解的最后变化是微小的，则称解是稳定的，否
则是不稳定的。
4. 有限差分法解题示例
利用差分法解Laplace方程第一边值问题。
解决这类问题通常有两种途径：（1）对方 程和边界条件进行简化，从而得到问题在简 化条件下的解答；（2）采用数值解法。 第一种方法只在少数情况下有效，因为过多 的简化会引起较大的误差，甚至得到错误的 结论。 目前，常用的数值解法大致可以分为两类： 有限差分法和有限元法。
数值模拟通常由前处理、数值计算、后处理三 部分组成 前处理 实体造型、物性赋值、定义单元类型、网格 划分 数值计算 施加载荷、设定时间步、确定计算控制条件、 求解计算 后处理 显示和分析计算结果、分析计算误差
2T T (i, j ) T (i, j 1) T (i, j ) 2T (i, j 1) T (i, j 2) 2 y y y y 2
中心差分
1 1 T (i , j ) T (i , j ) T T i 1, j T i 1, j 2 2 x x 2x
上式可写成：
n xi bi aij x j / aii j 1 i j
i 1,2,, n
欲求解方程组，首先假设一个解，代入 式子的右端，计算出解的一次迭代值，即
xi
1
n 0 bi aij x j / aii j 1 i j
k eq AE l
。
杆的横截面积沿y轴方向变化，作为近似，将杆模型化
为不同截面的等截面杆的串联，这样，杆可以由一个四个弹 簧串联组成的模型来表示，每个单元模型的弹性行为可以用 等价线性弹簧来表述：
T(x+dx) T(x) T(x-dx)
T(x+dx)-T(x-dx) 2dx T(x)-T(x-dx) dx
x
x-dx x x+dx
差分格式的误差分析
dT 1 d 2T xi 1 xi xi 1 xi 2 Ti 1 T x x Ti dx 2! dx2
第三章 材料科学研究中
常用的数值分析方法3Fra bibliotek1 概述 许多力学问题和物理问题已经得到了它们应 遵循的基本规律（微分方程）和相应的定解 条件。但是只有少数性质比较简单、边界比 较规整的问题能够通过精确的数学计算得出 其解析解。大多数问题很难得到解析解。 面临的问题是如何对我们所建立的方程进行 求解
间接法－迭代法
对于线性方程组，构造一个值，将代入 上式，得出新的值，再将结果代入得到更新 的，依次迭代下去，即可使其迭代值收敛于 该方程组的精确解。根据选择的方法不同， 又可以分为简单迭代法（同步迭代法）和 Guass-Seidel迭代法。 对于线性方程组，当，则可表示为下式：
x1 b1 a12 x 2 a13 x3 a1n x n / a11 x b a x a x a x / a 2 21 1 23 3 2n n 22 2 x b a x a x a x / a i i1 1 i2 2 in n ii i x b a x a x a x / a n n1 1 n2 2 nn n nn n
T T (i, j 1) T (i, j ) y y
2T T (i 1, j ) T (i, j ) T (i 2, j ) 2T (i 1, j ) T (i, j ) 2 x x x x 2
2T T (i, j 1) T (i, j ) T (i, j 2) 2T (i, j 1) T (i, j ) 2 y y y y 2
w1
y
L
w2
P
A1
前处理阶段
将求解区域离散化 先将求解问题分解为结点和单元，如图所示。 建立结点位移方程 长度为、有均一截面的固体单元在受到 外力时的变形情况如图所示。单元中的平均
A2 A3 A4
l
△l
应力为 F ，平均正应变为
A

l l
。
Ｆ
在弹性范围内，应力和应变的关系由虎克定律描述，即 AE F l ， 有 E ，其中E为材料的弹性模量，结合上式可得 l 这与线性弹簧等式F=kx相似，因此可以用一弹簧的变形来模 拟固态单元的变形，弹簧的等价刚度为
(1 (1 ( ( ) a 22) x 2 a 23) x3 a 21n) x n a 21n 1 , (2 ( ( a33 ) x3 a32 ) x n a3,2n)1 n

( (2 ( a n2 ) x3 a nn ) x n a n2n)1 3 ,
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a1n x n a1,n 1
(1 (1 ( ( ) a 22) x 2 a 23) x3 a 21n) x n a 21n 1 , (2 ( ( a33 ) x3 a32 ) x n a3,2n)1 n
(1)
i 1,2,, n
k 再将 xi 代入式子的右端，得到第二次迭代值，依此类推，得到第k次的迭
代值：
k
xi
n k 1 bi aij x j / aii j 1 i j
i 1,2,, n
x 迭代次数无限增多时，i
xi ( k 1) xik 0 c
一.有限元法的基本概念——直接刚度法
例：考虑一个变截面杆，如图所 示。杆的一端固定，另一端承受 P=1000N的载荷，杆的顶部宽 w1=2cm，杆的底部宽w2=1cm， 杆的厚度t=0.125cm，长度 L=10cm，杆的弹性模量 E=10.4×106MPa。试分析该杆沿 长度方向不同位置的变形情况， 假设杆的质量可以忽略不计。
3.2有限差分法
有限差分法是数值计算中应用非常广泛的一种方法。 其实质是以有限差分代替无限微分、以差分代数方 程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程， 从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代 替连续的函数分布。 差分方程的建立：首先选择网格布局、差分形式和 布局；其次，以有限差分代替无限微分，即以代替， 以差商代替微商，并以差分方程代替微分方程及其 边界条件。
Ti 1 dT 1 d 2T xi xi 1 xi xi 1 2 T x x Ti dx 2! dx 2
Ti 1 Ti dT 1 d 2T x 2 x x dx 2! dx
Ti Ti 1 dT 1 d 2T x 2 x x dx 2! dx
向后差分
T T (i, j ) T (i 1, j ) x x
T T (i, j 1) T (i, j ) y y
2T T (i, j ) T (i 1, j ) T (i, j ) 2T (i 1, j ) T (i 2, j ) 2 x x x x 2
1 1 T (i, j ) T (i, j ) T 2 2 T i, j 1 T i, j 1 y y 2y
1 1 T (i , j ) T (i , j ) T (i 1, j ) 2T (i, j ) T (i 1, j ) T 2 2 2 x x x x 2